Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

258 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Joseph-Louis Lagrange
(1736–1813)
4
3
2
1
A(0, 0)
y
1
(1, 1)
B(2, 4)
y x 2
FIGURA 4.18 Como vimos en el ejemplo
3, c = 1 es el punto donde la tangente es
paralela a la cuerda.
Distancia (pies)
400
320
240
160
80
0
s
2
s f(t)
x
(8, 352)
En este punto,
la rapidez del
automóvil era
de 30 millas/hora
t
5
Tiempo (seg)
FIGURA 4.19 Distancia contra tiempo
transcurrido para el automóvil del
ejemplo 4.
A
y f(x)
y g(x)
h(x) f(x) g(x)
a x
h(x)
FIGURA 4.16 La cuerda AB es la gráfica
de la función g(x). La función hsxd =
ƒsxd - gsxd da la distancia vertical entre
las gráficas de f y g en x.
Las hipótesis del teorema del valor medio no requieren que f sea diferenciable en a ni
en b. La continuidad en a y b es suficiente (figura 4.17).
EJEMPLO 3 La función ƒsxd = x (figura 4.18) es continua para 0 … x … 2 y diferenciable
para 0 6 x 6 2. Como ƒs0d = 0 y ƒs2d = 4, el teorema del valor medio dice
que en algún punto c en el intervalo, la derivada ƒ¿sxd = 2x debe tener el valor
s4 - 0d>s2 - 0d = 2. En este caso (excepcional), podemos identificar c resolviendo la
ecuación 2c = 2 para obtener c = 1.
2
Una interpretación física
Si pensamos en el número sƒsbd - ƒsadd>sb - ad como el cambio promedio de f en [a, b],
y ƒ¿scd como el cambio instantáneo, el teorema del valor medio dice que en algún punto
interior el cambio instantáneo debe ser igual al cambio promedio sobre todo el intervalo.
EJEMPLO 4 Si un automóvil que acelera desde 0 tarda 8 segundos en recorrer 352
pies, su velocidad promedio para el intervalo de 8 seg es 352>8 = 44 pies>seg.
De acuerdo
con el teorema del valor medio, en algún punto durante la aceleración el velocímetro debe
haber marcado exactamente 30 millas> hora (44 pies>seg) (figura 4.19).
Consecuencias matemáticas
B
b
x
Al principio de esta sección preguntamos qué clase de función tiene una derivada cero sobre
un intervalo. El primer corolario del teorema del valor medio nos da la respuesta.
–1
y
y 1 x
1
2 , –1 x 1
0 1
FIGURA 4.17 La función
21 - x satisface las hipótesis (y la
conclusión) del teorema del valor medio en
[-1, 1] a pesar de que f no es diferenciable
en -1 y 1.
2
ƒsxd =
COROLARIO 1 Las funciones con derivadas cero son constantes
Si ƒ¿sxd = 0 en cada punto x de un intervalo abierto (a, b), entonces ƒsxd = C
para todo x H sa, bd, donde C es una constante.
x