Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

25
4
–3 –2 –1 0 1 2
y
y 6 x x 2
FIGURA 5.21 El área de este
arco parabólico se calcula con una
integral definida (ejemplo 6).
1
0
–1
y
Área 2
y sen x
x
Área
–2 2
2
FIGURA 5.22 El área total entre
y = sen x
y el eje x para 0 … x … 2p es
la suma de los valores absolutos de dos
integrales (ejemplo 7).
x
cedimientos de integración y derivación son “inversos” uno del otro. El teorema fundamental
también dice que toda función continua f tiene una antiderivada F. Y afirma que la
ecuación diferencial dy>dx = ƒsxd tiene una solución (a saber, la función y = F(x) ) para
toda función continua f.
Área total
La suma de Riemann contiene términos de la forma ƒsckd ¢k que dan el área de un rectángulo
cuando ƒsckd es positiva. Cuando ƒsckd es negativa, el producto ƒsckd ¢k es el negativo
del área del rectángulo. Cuando sumamos tales términos para una función negativa, obtenemos
el negativo del área entre la curva y el eje x. Si tomamos entonces el valor absoluto,
obtenemos el área positiva.
EJEMPLO 6 Determinación de áreas usando antiderivadas
Calcular el área acotada por el eje x y la parábola y = 6 - x - x 2 .
Solución Encontramos en dónde cruza la curva el eje x haciendo
que da
En la figura 5.21 se da un dibujo de la curva, y es no negativa en
El área es
L
2
-3
s6 - x - x 2 d dx = c6x - x2
2
En la figura 5.21, la curva es un arco de parábola, y es interesante notar que el área debajo
de dicho arco es exactamente igual a dos tercios de la base por la altura:
El cálculo del área de la región acotada por la gráfica de una función y = ƒsxd y el
eje x requiere más cuidado cuando la función toma valores tanto positivos como negativos.
Debemos ser cuidadosos para partir el intervalo [a, b] en subintervalos en donde la función
no cambie de signo. De otra manera, podríamos obtener cancelaciones entre los signos
positivo y negativo de las áreas, llegando a un total incorrecto. El área total correcta se
obtiene sumando el valor absoluto de la integral definida en cada subintervalo donde f (x)
no cambia de signo. El término “área” significará el área total.
EJEMPLO 7 Cancelación de áreas
5.4 El teorema fundamental del cálculo 363
y = 0 = 6 - x - x 2 = s3 + xds2 - xd,
x = -3 o x = 2.
x3
-
3 d 2
-3
= a12 - 2 - 8
9
b - a-18 -
3 2
2
125
s5d a25 b =
3 4 6 = 20 5 6 .
[-3, 2].
+ 27
3 b = 20 5 6 .
La figura 5.22 muestra la gráfica de la función ƒsxd = sen x entre x = 0 y x = 2p.
Calcular
(a) la integral definida de f (x) en [0, 2p].
(b) el área entre la gráfica de f (x) y el eje x en [0, 2p].