Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

326 Capítulo 5: Integración
0.5
0
y
(0, 1)
1
R
Aun cuando no contamos con un método para determinar el área exacta de R, podemos
aproximarla de una manera sencilla. La figura 5.2a muestra dos rectángulos que, juntos,
contienen la región R. Cada rectángulo tiene ancho de 1>2 y, de izquierda a derecha, tienen
altura 1 y 3>4.
La altura de cada rectángulo es el valor máximo de la función f, obtenido al
evaluar f en el extremo izquierdo del subintervalo [0, 1] formando la base del rectángulo. El
área total de los dos rectángulos aproxima el área A de la región R,
Esta estimación es mayor que el área verdadera A, ya que los dos rectángulos contienen a
R. Decimos que 0.875 es una suma superior, porque se obtuvo tomando la altura de cada
rectángulo como el valor máximo (el más alto) de f(x) para x, un punto en el intervalo base
del rectángulo. En la figura 5.2b mejoramos nuestra estimación usando cuatro rectángulos
más delgados, cada uno con ancho de 1>4, que tomados en conjunto contienen la región R.
Estos cuatro rectángulos dan la aproximación
A L 1 # 1
4
y 1 x 2
⎛1
, 3
⎝2
4
0.5 1
(a)
que sigue siendo mayor que A, ya que los cuatro rectángulos contienen a R.
Supongamos, en cambio, que para estimar el área usamos cuatro rectángulos contenidos
dentro de la región R, como en la figura 5.3a. Cada rectángulo tiene un ancho de
como antes, pero son más chicos y están completamente por debajo de la gráfica de f.
La función ƒsxd = 1 - x decrece en [0, 1], de manera que la altura de cada rectángulo
está dada por el valor de f en el extremo derecho del subintervalo que forma la base. El
cuarto rectángulo tiene altura cero y, por lo tanto, no contribuye al área. Sumando estos
rectángulos con alturas iguales al valor mínimo de f (x) para x un punto de cada subintervalo
base, obtenemos una suma inferior de aproximación del área,
2
1>4
A L 15 # 1
16 4
A L 1 # 1
2
15
+ # 1
16 4
3
+ # 1
4 4
x
3
+ # 1
4 2
3
+ # 1
4 4
7
+ # 1
16 4
7
+ # 1
16 4 + 0 # 1
4
Esta estimación es menor que el área A, ya que los todos rectángulos están dentro de la región
R. El valor verdadero de A está entre las sumas inferior y superior:
0.5
= 7
8
= 0.875.
0.53125 6 A 6 0.78125.
0
y
(0, 1) ⎛1
, 15
1 ⎝4
16
R
0.25 0.5 0.75 1
= 25
32
= 17
32
⎛ ⎝
⎛1
, 3
⎝2
4
(b)
y 1 x 2
⎛ ⎝
⎛ ⎝
⎛3
, 7
⎝4
16
FIGURA 5.2 (a) Obtenemos una estimación superior del área de R usando dos
rectángulos que contienen a R. (b) Cuatro rectángulos dan una mejor
aproximación de la estimación superior. Ambas estimaciones sobrepasan el valor
real del área.
= 0.78125,
= 0.53125.
⎛ ⎝
x