Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

90 Capítulo 2: Límites y continuidad
35. lím
36. lím
x: -3 x:4
2 - 2x2 - 5
x + 3
Aplicación de las reglas de los límites
37. Suponga que límx:0 ƒsxd = 1 y límx:0 gsxd = -5. Señale qué
reglas del teorema 1 se usan para realizar los pasos (a), (b) y (c)
del cálculo siguiente.
38. Sean límx:1 hsxd = 5, límx:1 psxd = 1 y límx:1 rsxd = 2. Señale
qué reglas del teorema 1 se usan para realizar los pasos (a),
(b) y (c) del cálculo siguiente.
lím
x:1
39. Suponga que límx:c ƒsxd = 5 y límx:c gsxd = -2. Encuentre
a. b.
lím
x:c ƒsxdgsxd
c. lím sƒsxd + 3gsxdd d.
x:c
40. Suponga que límx:4 ƒsxd = 0 y límx:4 gsxd = -3. Encuentre
a. b.
lím sgsxd + 3d
x:4
lím
x:0
c. lím
d.
sgsxdd
x:4
2
2ƒsxd - gsxd
=
2>3
sƒsxd + 7d
25hsxd
psxds4 - rsxdd =
= 2s5ds5d 5
=
s1ds4 - 2d 2
lím
x:c 2ƒsxdgsxd
lím
x:c
lím
x:4 xƒsxd
lím
x:4
ƒsxd
ƒsxd - gsxd
gsxd
ƒsxd - 1
41. Suponga que límx:b ƒsxd = 7 y límx:b gsxd = -3. Encuentre
a. b.
c. lím
x:b
d. lím ƒsxd>gsxd
x:b 4gsxd
lím
x:b ƒsxd lím sƒsxd + gsxdd
x:b
# gsxd
=
=
=
=
= s2ds1d - s -5d
lím
x:1
4 - x
5 - 2x 2 + 9
lím s2ƒsxd - gsxdd
x:0
lím sƒsxd + 7d
x:0
2>3
lím 2ƒsxd - lím
x:0 x:0 gsxd
A lím Aƒsxd + 7BB
x:0 2>3
2 lím
x:0 ƒsxd - lím
x:0 gsxd
A lím
x:0 ƒ(x) + lím
x:0 7B 2>3
s1 + 7d 2>3
lím
x:1 25hsxd
spsxds4 - rsxddd
= 7
4
2 lím 5hsxd
x:1
A lím p(x)BAlím A4 - r(x)BB
x:1 x:1
25 lím hsxd
x:1
A lím p(x)BAlím 4 - lím r(x)B
x:1 x:1 x:1
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
42. Suponga que límx:-2 psxd = 4, límx:-2 rsxd = 0, y
límx:-2 ssxd = -3. Encuentre
a.
b.
c.
Límites de razones de cambio promedio
Debido a la relación que existe entre rectas secantes, tangentes y razones
instantáneas, los límites de la forma
ƒsx + hd - ƒsxd
lím
h:0 h
aparecen frecuentemente en cálculo. En los ejercicios 43 a 48, evalúe
este límite para el valor de x dado y la función f.
43. 44. ƒsxd = x
45. ƒsxd = 3x - 4, x = 2 46. ƒsxd = 1>x, x = -2
47. ƒsxd = 2x, x = 7 48. ƒsxd = 23x + 1, x = 0
2 ƒsxd = x , x = -2
2 , x = 1
Aplicación del teorema del sandwich
49. Si para encuentre
50. Si 2 - x para toda x, encuentre
51. a. Se puede probar que las desigualdades
2 25 - 2x -1 … x … 1,
límx:0 ƒsxd.
… gsxd … 2 cos x
2 … ƒsxd … 25 - x2 T
lím spsxd + rsxd + ssxdd
x: -2
lím
x: -2 psxd # rsxd # ssxd
lím
x: -2
son válidas para toda x cercana a cero. ¿Esto nos indica algo
acerca del
Justifique su respuesta.
b. Grafique
s -4psxd + 5rsxdd>ssxd
1 - x2
6 6
lím
x:0
y = 1 - sx 2 >6d, y = sx sen xd>s2 - 2 cos xd y y = 1
en una misma gráfica para -2 … x … 2. Comente el comportamiento
de las gráficas cuando x : 0.
52. a. Suponga que las desigualdades
son válidas para toda x cercana a cero. (Sí, son válidas, tal como
comprobaremos en la sección 11.9). ¿Qué nos indica esto
acerca del
Justifique su respuesta.
x sen x
6 1
2 - 2 cos x
x sen x
2 - 2 cos x ?
1 x2 1 - cos x
- 6
2 24 x 2 6 1
2
lím
x:0
1 - cos x
x2 ?
límx:0 gsxd.
b. Grafique en una misma gráfica las ecuaciones
y = s1 - cos xd>x y y = 1>2 para
-2 … x … 2. Comente el comportamiento de las gráficas
conforme x : 0.
2
y = s1>2d - sx 2 >24d,