Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

El ancho del primer subintervalo [x0, x1] se denota mediante ¢x1, el ancho del segundo
intervalo [x1, x2] es ¢x2, y el ancho del k-ésimo subintervalo es ¢xk = xk - xk - 1. Si todos
los n subintervalos tienen el mismo ancho, el ancho común, ¢x es igual a sb - ad>n.
x 1
x 2
k-ésimo subintervalo
x0 a x1 x 2 • • • xk1 xk • • • xn1 xn b
x0 a x1 x2 • • • xk1 xk • • • xn1 xn b
En cada subintervalo elegimos algún punto. El punto elegido en el k-ésimo subintervalo
[xk - 1, xk] se llama ck. Entonces, en cada subintervalo levantamos un rectángulo vertical
a partir del eje x hasta tocar la curva en sck, ƒsckdd. Estos rectángulos pueden estar
arriba o debajo del eje x, dependiendo de si ƒsckd es positivo o negativo, o si ƒsckd = 0
(figura 5.9).
En cada subintervalo formamos el producto ƒsckd # ¢xk. Este producto es positivo, negativo
o cero dependiendo del signo de ƒsckd. Cuando ƒsckd 7 0, el producto ƒsckd # ¢xk
es el área del rectángulo con altura ƒsckd y ancho ¢xk. Cuando ƒsckd 6 0, el producto
ƒsckd # ¢xk es un número negativo, el negativo del área del rectángulo de ancho ¢xk que
cae desde el eje x al número negativo ƒsckd.
Finalmente sumamos todos estos productos para obtener
0
y
(c 1 , f(c 1 ))
1 k-ésimo rectángulo
(c 2 , f(c 2 ))
5.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 341
n
SP = a ƒsckd ¢xk .
k = 1
(c k , f(c k ))
x k
y f(x)
(c n , f(c n ))
c1 c2 ck cn x0 a x1 x2 xk1 xk xn1 xn b
FIGURA 5.9 Los rectángulos aproximan la región entre la gráfica de la función
y = ƒsxd
y el eje x.
x n
x
x
x