Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Para el gas radón 222, t se mide en días y
k = 0.18. Para el radio 226, que se
utilizaba en las carátulas de los relojes
para que brillarán en la oscuridad (una
práctica peligrosa), t se mide en años y
k = 4.3 * 10 -4 .
7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 505
El interés podría añadirse (los banqueros dicen “componerse” o “capitalizarse”) cada mes
(k = 12), cada semana (k = 52), cada día (k = 365) o incluso de manera más frecuente, digamos
cada hora o cada minuto. Tomando el límite cuando el interés se compone cada vez
con mayor frecuencia, llegamos a la fórmula siguiente para determinar la cantidad de dinero
acumulado al cabo de t años:
Cuando
Sustituir
Teorema 4
La fórmula resultante para determinar la cantidad de dinero que habrá en su cuenta al
cabo de t años es
De acuerdo con esta fórmula, decimos que el interés que se paga se compone de manera
continua. El número r se denomina tasa de interés continua. El monto que habrá al cabo
de t años se calcula a partir de la ley de cambio exponencial que se da en la ecuación (6).
EJEMPLO 2 Cuenta de ahorros
Suponga que se depositan $621 en una cuenta bancaria que paga 6% de interés compuesto
de manera continua. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta 8 años después?
Solución Utilizamos la ecuación con A0 = 621, r = 0.06 y t = 8:
Redondeado a centavos
Si el banco pagase el interés trimestralmente (k = 4 en la ecuación 5), la cantidad que
habría en la cuenta al final del periodo sería de $1000.01. En consecuencia, el efecto del
interés compuesto de manera continua ha dado lugar a una suma adicional de $3.57. Un
banco podría decidir que vale la pena pagar esa suma adicional para poder anunciar, “Sus
intereses se capitalizan cada segundo, día y noche”, o mejor aún, “Sus intereses se capitalizan
de manera continua”.
Radiactividad
lím
k: q At = lím
k: q A0 a1 + r
k b
kt
r
= A0 lím a1 +
k: q k b
k #
r rt
= A0
r
B lím a1 +
:0 k b
k
r
r
k
= A0 c lím s1 + xd
x:0 1/x rt
d
= A0 ert
Astd = A0 ert .
As8d = 621e s0.06ds8d = 621e 0.48 = 1003.58
k : q, r
: 0
k
x = r
k
Algunos átomos son inestables y pueden emitir masa o radiación espontáneamente. Este
proceso se denomina decaimiento radiactivo, y al elemento cuyos átomos lo sufren de
manera espontánea se le llama elemento radiactivo. Cuando un átomo emite parte de su
masa en este proceso de radiactividad, suele ocurrir que el resto de los átomos se reestructuren
para formar algún nuevo elemento. Por ejemplo, el carbono 14 radiactivo decae en
nitrógeno, y el radio, a lo largo de varios pasos radiactivos intermedios, se transforma
en plomo.
Los experimentos han demostrado que, en cualquier instante, la tasa a la que decae
un elemento radiactivo (medida como el número de núcleos que cambian por unidad de
tiempo), es aproximadamente proporcional al número de núcleos radiactivos presentes.
Por lo tanto el decaimiento de un elemento radiactivo se describe por medio de la ecuación
dy/dt = –ky, k 7 0. Por convención aquí se utiliza –k (k 7 0) en lugar de k (k 6 0) para ha-
rt
R
(6)