Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Periodos de las funciones
trigonométricas
Periodo P : tansx + pd = tan x
cotsx + pd = cot x
Periodo 2P :
P(cos u, sen u)
sen u
cos u
secsx + 2pd = sec x
cscsx + 2pd = csc x
y
sensx + 2pd = sen x
cossx + 2pd = cos x
u
x 2 y 2 1
FIGURA 1.74 El triángulo de
referencia para un ángulo general u.
1
x
Como podemos ver en la figura 1.73, las funciones tangente y cotangente tienen periodo
p = p. Las otras cuatro funciones tienen periodo 2p. Las funciones periódicas son
importantes, ya que muchos de los comportamientos que se estudian en ciencias son casi
periódicos. Uno de los teoremas de cálculo avanzado afirma que todas las funciones periódicas
que se usan en la creación de modelos matemáticos pueden escribirse como una combinación
algebraica de senos y cosenos. En la sección 11.11 se muestra cómo hacer esto.
En la figura 1.73, las simetrías de las gráficas revelan que las funciones coseno y secante
son pares y las otras cuatro funciones son impares:
Identidades Trigonométricas
Pares Impares
coss -xd = cos x
secs -xd = sec x
sens -xd = -sen x
tans -xd = -tan x
cscs -xd = -csc x
cots -xd = -cot x
Las coordenadas de cualquier punto P(x, y) en el plano pueden expresarse en términos de
la distancia entre el punto y origen, y el ángulo que hace el rayo OP con el eje x positivo
(figura 1.69). Como x>r = cos u y y>r = sen u, tenemos
x = r cos u, y = r sen u.
1.6 Funciones trigonométricas 53
Cuando r = 1 podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de referencia
en la figura 1.74, y obtener la ecuación
cos 2 u + sen 2 u = 1.
Esta identidad, la más usada en trigonometría, es válida para todos los valores de y es
llamada identidad pitagórica. Dividiendo por turnos esta identidad entre y sen da
por resultado
2 cos u
2 u,
u
1 + tan 2 u = sec 2 u.
1 + cot 2 u = csc 2 u.
Las fórmulas siguientes se satisfacen para todos los ángulos A y B (ejercicios 53 y 54).
Fórmulas para la suma de ángulos
cossA + Bd = cos A cos B - sen A sen B
sensA + Bd = sen A cos B + cos A sen B
(1)
(2)