Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

11. Utilice las identidades
senh sx + yd = senh x cosh y + cosh x senh y
para demostrar que
a.
b. cosh 2x = cosh
12. Utilice las definiciones de cosh x y senh x para demostrar que
2 x + senh 2 senh 2x = 2 senh x cosh x
x.
Derivadas
cosh sx + yd = cosh x cosh y + senh x senh y
En los ejercicios 13 a 24 determine la derivada de y con respecto de la
variable apropiada.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23.
24.
(Sugerencia: Antes de derivar, exprese en términos de exponenciales
y simplifique).
y = s4x2 y = sx
- 1d csch sln 2xd
2 y = ln senh y -
+ 1d sech sln xd
1
2 coth2 y = ln cosh y - y
1
2 tanh2 y = t
y = ln ssenh zd
y = ln scosh zd
y = sech us1 - ln sech ud y = csch us1 - ln csch ud
y
2 tanh 1
y =
y = 22t tanh 2t
t
1
x
y = 6 senh
3
senh s2x + 1d
2
En los ejercicios 25 a 36, determine la derivada de y con respecto de la
variable apropiada.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35.
36. y = cosh-1 y = senh
ssec xd, 0 6 x 6 p>2
-1 y = csch
stan xd
-1 2u y = csch-1 a 1
2 b
y = ln x + 21 - x
u
2 sech -1 y = cos x
-1 x - x sech -1 y = s1 - t
x
2 d coth -1 y = s1 - td coth t
-1 y = su
2t
2 + 2ud tanh-1 y = s1 - ud tanh su + 1d
-1 y = cosh
u
-1 y = senh 22x + 1
-1 1x
Fórmulas de integración
cosh 2 x - senh 2 x = 1.
Verifique las fórmulas de integración en los ejercicios 37 a 40.
37. a.
b.
38.
39. x coth
L -1 x dx = x2 - 1
coth
2
-1 x + x
L
+ C
2 x sech-1 x dx = x2
2 sech-1 x - 1
2 21 - x2 L
+ C
sech x dx = sen-1 L
stanh xd + C
sech x dx = tan-1 ssenh xd + C
40.
Integrales indefinidas
Evalúe las integrales de los ejercicios 41 a 50.
41. senh 2x dx
42.
L L
Integrales definidas
Evalúe las integrales de los ejercicios 51 a 60.
ln 4
51. coth x dx
52.
Lln
2
L
-ln 2
53. 2e 54.
L-ln
4
L
u cosh u du
p>4
7.8 Funciones hiperbólicas 543
L tanh-1 x dx = x tanh -1 x + 1
2 ln s1 - x2 d + C
senh x
5 dx
43. 44.
45. 46.
47. 48.
L
49.
sech 2t tanh 2t dt
L 2t
50.
csch sln td coth sln td dt
L
t
csch2 L
s5 - xd dx
sech2 ax - 1
u
coth
L 23
b dx
2 du
x
tanh
L 7 dx
6 cosh ax - ln 3b dx
L 2
4 cosh s3x - ln 2d dx
L
0
ln 2
0
p>2
4e -u senh u du
55. 56.
57. 58.
59. 60.
ln 10
4 senh
L0
2 a x
0
cosh
L-ln
2
b dx
2 2 a x
cosh stan ud sec
L-p>4
L0
2 senh ssen ud cos u du
2 cosh sln td
L
t
dt
1
4
8 cosh 1x
dx
L1
1x
b dx
2 2 u du
Evaluación de funciones hiperbólicas
inversas e integrales relacionadas
Aun cuando su calculadora no cuente con teclas para funciones hiperbólicas,
podrá evaluar las funciones hiperbólicas inversas expresándolas
como logaritmos, tal como se muestra aquí.
ln 2
tanh 2x dx
senh -1 x = ln Ax + 2x 2 + 1B, - q 6 x 6 q
sech-1 tanh
1 + 21 - x2
x = ln a x b, 0 6 x … 1
-1 x = 1 1 + x
ln
2 1 - x ,
cosh
ƒ x ƒ 6 1
-1 x = ln Ax + 2x 2 + 1B, x Ú 1
coth-1 x = 1 x + 1
ln
2 x - 1 ,
csch
ƒ x ƒ 7 1
-1 x = ln a 1 21 + x2
x + b, x Z 0
ƒ x ƒ