Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

658 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
12.
13.
14.
Resolución de problemas de valor inicial
Resuelva los problemas de valor inicial de los ejercicios 15 a 20.
15.
16.
17.
18.
st + 1d ds
dt
sen u dr
+ scos udr = tan u, 0 6 u 6 p>2
du
tan u dr
du + r = sen2 u, 0 6 u 6 p>2
dy
dt
+ 2y = 3, ys0d = 1
t dy
dt + 2y = t 3 , t 7 0, ys2d = 1
u dy
du - 2y = u3 u
sec u tan u, u 7 0, ysp>3d = 2
dy
+ y = sen u, u 7 0, ysp>2d = 1
du
19. sx + 1d
dy
20. + xy = x, ys0d = -6
dx
21. Resuelva el problema de valor inicial de crecimiento> decaimiento
exponencial para y como función de t, considerando la ecuación
diferencial como una ecuación lineal de primer orden con P(x) =
–k y Qsxd = 0:
dy
dx - 2sx2 2
ex
+ xdy = , x 7 -1, ys0d = 5
x + 1
dy
dt
22. Resuelva el siguiente problema de valor inicial para u como función
de t:
du
dt + k m u = 0 sk y m constantes positivasd, us0d = u0
a. como una ecuación lineal de primer orden.
b. como una ecuación separable.
Teoría y ejemplos
+ 2s = 3st + 1d +
1
st + 1d
2, t 7 -1
= ky sk constanted, ys0d = y0
23. ¿Alguna de las ecuaciones siguientes es correcta? Justifique sus
respuestas.
a. b. x
L
24. ¿Alguna de las ecuaciones siguientes es correcta? Justifique sus
respuestas.
a.
1
cos x cos x dx = tan x + C
L 1 ƒ ƒ x dx = x ln x + Cx
x L 1 ƒ ƒ x dx = x ln x + C
1
b. cos x cos x dx = tan x +
L
25. Mezcla de sal Un depósito contiene inicialmente 100 galones
de salmuera en la que están disueltas 50 lb de sal. Al depósito
entra salmuera, que contiene 2 lb> gal de sal, a una razón de 5
C
cos x
gal> min. La mezcla se mantiene uniforme mezclándola, y sale del
tanque a razón de 4 gal> min.
a. ¿A qué razón entra sal (libras por minuto) al depósito en el
instante t?
b. ¿Cuál es el volumen de salmuera en el depósito en el instante
t?
c. ¿A qué razón (libras por minuto) sale la sal del depósito en el
instante t?
d. Plantee y resuelva un problema de valor inicial que describa
el proceso de mezclado.
e. Determine la concentración de sal en el depósito 25 minutos
después de iniciado el proceso.
26. Problema de mezcla Un tanque, con capacidad de 200 galones,
está lleno hasta la mitad con agua destilada. En el instante t = 0,
se introduce al tanque una solución a razón de 0.5 lb> gal de
concentrado, a razón de 5 gal> min, y la mezcla, revuelta perfectamente,
se extrae a razón de 3 gal> min.
a. ¿En que instante se llena el tanque?
b. En el instante en que el tanque está lleno, ¿cuántas libras de
concentrado habrá en él?
27. Mezcla de fertilizante Un depósito contiene 100 galones de
agua pura. Se introduce al tanque una solución, que contiene 1 lb>
gal de fertilizante soluble para césped, a razón de 1 gal> min, y la
mezcla es bombeada fuera del tanque a razón de 3 gal> min. Determine
la cantidad máxima de fertilizante en el tanque y el instante
en que se alcanza ese máximo.
28. Contaminación con monóxido de carbono En un inicio, la
sala de conferencias de una compañía tiene 4500 pies 3 de aire libre
de monóxido de carbono. Empezando en el instante t = 0,el
humo de cigarro, que contiene 4% de monóxido de carbono, se
lanza a la sala, a razón de 0.3 pies 3 > min. Un ventilador en el techo
mantiene el aire de la sala con buena circulación, y el aire deja la
sala a la misma velocidad de 0.3 pies 3 > min. Determine el tiempo
en que la concentración de monóxido de carbono en la sala llega
a 0.01%.
29. Corriente en un circuito RL cerrado ¿Cuántos segundos, después
de que se cierra un circuito RL, le tomará a la corriente, i,
alcanzar la mitad de su valor de estado estacionario? Observe que
el tiempo depende de R y L, y no del voltaje que se aplique.
30. Corriente en un circuito RL abierto Si en un circuito RL el
interruptor se abre cuando el circuito alcanza su estado estacionario,
I = V>R, el decrecimiento de la corriente (graficada a continuación)
satisface la ecuación
L di
+ Ri = 0,
dt
que es la ecuación (5) con V = 0.
a. Resuelva la ecuación para expresar i como una función de t.
b. ¿Cuánto tiempo después de que se abrió el circuito la corriente
caerá a la mitad de su valor original?
c. Demuestre que el valor de la corriente es I>e cuando t = L>R.
(El significado de este tiempo se explica en el ejercicio siguiente).