Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

99. ¿Verdadero o falso? Justifique sus respuestas.
a. b.
c. d.
e. f. cosh x = Ose
100. ¿Verdadero o falso? Justifique sus respuestas.
x tan d
-1 1 1 1
+ = O a 2 4
x x x
x = osx + ln xd
ln sln xd = osln xd
x = Os1d
4b
1 1 1
+ = O a 2 4
x x x 2b
a. b.
c. d.
e. f. senh x = Ose x sec d
-1 1 1 1
= o a + 4 2
x x x
ln x = osx + 1d
ln 2x = Osln xd
x = Os1d
4b
1 1 1
= O a + 4 2
x x x 4b
Teoría y aplicaciones
101. Ya que la función f (x) = e x + x es diferenciable e inyectiva, tiene
una inversa diferenciable Determine el valor de dƒ
en el punto f (ln 2).
-1 ƒ >dx
-1 sxd.
102. Determine la inversa de la función
Demuestre después que ƒ y que
-1 sƒsxdd = ƒsƒ -1 ƒsxd = 1 + s1>xd, x Z 0.
sxdd = x
dƒ -1
dx ` =
ƒsxd
1
ƒ¿sxd .
En los ejercicios 103 y 104, determine los valores máximo absoluto y
mínimo absoluto de cada función en el intervalo dado.
103.
104. y = 10xs2 - ln xd, s0, e
105. Área Calcule el área bajo la curva y = 2sln xd/x y el eje x, de
x = 1 a x = e.
106. Área
a. Demuestre que el área que está entre la curva y = 1>x y el
eje x, de x = 10 a x = 20, es igual al área que está entre la curva
y el eje x, de x = 1 a x = 2.
b. Demuestre que el área que está entre la curva y = 1>x y el
eje x, de ka, a kb, es igual al área que está entre curva y el eje
x, de x = a a x = b s0 6 a 6 b, k 7 0d.
2 y = x ln 2x - x, c
]
1 e
,
2e 2 d
107. Una partícula viaja hacia arriba y a la derecha sobre la curva y =
ln x. Su coordenada x crece según la razón
m/s. ¿Cuál es la razón de cambio de la coordenada y en el punto
108. Una niña se desliza por un tobogán cuya forma es la curva
Su coordenada y cambia según la razón
pie s. ¿A qué razón cambia, aproximadamente,
su coordenada x cuando llega a la parte inferior del tobogán en
x = 9 pies? (Considere que e 3 es 20 y redondee la respuesta al
pies s más cercano).
109. El rectángulo de la ilustración tiene un lado sobre el eje y positivo,
otro sobre el eje x positivo y su vértice superior derecho está
sobre la curva y = e ¿Con qué dimensiones alcanza el rectángulo
un área máxima y cuál es esa área?
-x2
y = 9e dy>dt =
s -1>4d29 - y >
>
.
-x>3 se
.
2 sdx>dtd = 1x m>s.
, 2d?
T
T
T
1
0
Capítulo 7 Ejercicios de práctica 549
110. El rectángulo de la ilustración tiene un lado sobre el eje y positivo,
otro sobre el eje x positivo, y su vértice superior derecho está
sobre la curva y = sln xd>x ¿Con qué dimensiones alcanza el
rectángulo un área máxima y cuál es esa área?
2 .
0.2
0.1
0
y
y
1
y e –x2
111. Las funciones f (x) = ln 5x y g(x) = ln 3x difieren por una constante.
¿Cuál es? Justifique su respuesta.
112. a. Si ¿tiene que ser
b. Si ¿tiene que ser
Justifique sus respuestas.
113. El cociente tiene un valor constante. ¿Cuál es?
Justifique su respuesta.
114. en comparación con ¿Cómo se compara f (x)
= logx(2) con g(x) = log2 (x)? Ésta es una forma de averiguarlo:
a. Utilice la ecuación para expresar f (x)
y g(x) en términos de logaritmos naturales.
b. Grafique juntas a f y a g. Comente el comportamiento de f en
relación con los signos y valores de g.
115. Grafique las siguientes funciones y por inspección visual localice
y estime los valores extremos, identificar las coordenadas de
los puntos de inflexión, y determine los intervalos en donde las
gráficas son cóncavas hacia arriba y hacia abajo. Después, confirme
sus estimaciones trabajando con las derivadas de las funciones.
a. b. c. y = s1 + xde
116. Grafique f (x) = x ln x. ¿Le parece que la función tiene un valor
mínimo absoluto? Confirme su respuesta mediante cálculo.
117. ¿Cuál es la edad de una muestra de carbón vegetal, en la cual
90% del carbono 14 original ha decaído?
118. Enfriamiento de una tarta En un plato hondo, una tarta cuya
temperatura interna era 220°F al ser sacada del horno, se deja
enfriar en una terraza bien ventilada a 40°F. A los 15 minutos la
temperatura interna de la tarta es de 180°F. ¿Cuánto tiempo más
tardará en enfriarse hasta llegar a 70°F?
119. Ubicación de una estación solar Usted ha firmado un contrato
para construir una estación solar al nivel del suelo, con alineación
este–oeste entre los dos edificios de la ilustración. ¿A qué
distancia del edificio más alto debe ubicar la estación para maxi-
-x
y = e -x2
sln xd>x = sln 2d>2,
x = 2?
sln xd>x = -2 ln 2,
x = 1>2?
slog4 xd>slog2 xd
logx s2d
log2 sxd
loga b = sln bd>sln ad
y = sln xd> 1x
y
x2 ln x
x
x