Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Las expansiones decimales finitas representan un tipo especial de repetición decimal de
final de ceros repetidos.
El conjunto de números racionales tiene todas las propiedades algebraicas y de orden
de los números reales, pero carece de la propiedad de completez. Por ejemplo, no existe un
número racional cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un “vacío” en la recta racional,
donde debería estar .
Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales, y se caracterizan
por tener expansiones decimales no finitas y no periódicas. Por ejemplo,
2 y log10 3. Como cada expansión decimal representa un número real, resulta evidente
que la cantidad de números irracionales es infinita. Podemos encontrar tanto números racionales
como irracionales arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real.
La notación de conjuntos es muy útil para especificar un subconjunto de números reales.
Un conjunto es una colección de objetos, los mismos que constituyen los elementos
del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a H S significa que a es un elemento de S, y
a x S significa que a no es un elemento de S. Si S y T son conjuntos, S ´ T es su unión,
y ésta consiste de todos los elementos que pertenecen a S o a T (o tanto a S como a T). La
intersección S ¨ T consiste de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, S y
T. El conjunto vacío ¤ es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo, la intersección de
los números racionales y los números irracionales es el conjunto vacío.
Algunos conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por comas
entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los números naturales (o enteros
positivos) menores que 6, puede expresarse como
A = 51, 2, 3, 4, 56.
3 22
p, 22,
5,
El conjunto de todos los números enteros se escribe como
50, ;1, ;2, ;3, Á 6.
Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar entre llaves una regla que
genere todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto
A = 5x ƒ x es un entero y 0 6 x 6 66
es el conjunto de los enteros positivos menores que 6.
Intervalos
1.1 Los números reales y la recta real 3
Un subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dos
números y todos los números reales que están entre cualquier par de sus elementos. Por
ejemplo, el conjunto de todos los números reales x tales que x 7 6 es un intervalo, así como
el conjunto de todos los x tales que -2 … x … 5. El conjunto de todos los números
reales distintos de cero no es un intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumple
con la condición de contener todos los números reales entre -1 y 1 (por ejemplo).
Geométricamente, los intervalos corresponden a rayos y segmentos de recta sobre la recta
real o a lo largo de la misma. Los intervalos de números que corresponden a segmentos de
recta son intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la recta real son intervalos
infinitos.
Decimos que un intervalo finito es cerrado si incluye sus dos extremos, semiabierto
si incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abierto si no incluye ninguno de sus extremos.
Los extremos también se llaman puntos frontera, ya que conforman precisamente
la frontera del intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos interiores, y
constituyen el interior del intervalo. Los intervalos infinitos, que corresponden a rayos,
son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta real
completa es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado.
Resolución de desigualdades
Al proceso de encontrar el intervalo o intervalos de números que satisfacen una desigualdad
en x se le llama resolver la desigualdad.