Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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174 Capítulo 3: Derivadas BIOGRAFÍA HISTÓRICA Bernard Bolzano (1781<strong>–</strong>1848) DEFINICIÓN Rapidez La rapidez es el valor absoluto de la velocidad. EJEMPLO 3 Movimiento horizontal Rapidez = ƒ ystd ƒ = ` ds dt ` La figura 3.15 muestra la velocidad y = ƒ¿std de una partícula que se mueve sobre una recta coordenada. La partícula se mueve hacia delante en los primeros 3 segundos, hacia atrás en los siguientes 2 segundos, se detiene durante un segundo, y se mueve nuevamente hacia delante. La partícula alcanza su rapidez máxima en el tiempo t = 4, que se da mientras se mueve hacia atrás. y SE MUEVE HACIA ADELANTE (y 0) Rapidez hacia arriba se mantiene (y const) disminuye 0 1 2 3 4 5 6 Rapidez hacia arriba Mayor rapidez y f'(t) disminuye SE MUEVE HACIA ATRÁS (y 0) FIGURA 3.15 La gráfica de la velocidad para el ejemplo 3. se mantiene todavía (y 0) SE MUEVE HACIA ADELANTE (y 0) Rapidez hacia arriba 7 t (seg) La razón a la que cambia la velocidad de un cuerpo es su aceleración. La aceleración mide qué tan rápido gana o pierde rapidez el cuerpo. Un cambio repentino en la aceleración es una sacudida. Las sacudidas que se dan durante un paseo en coche o en autobús no se deben a que la aceleración involucrada sea necesariamente grande, sino a que el cambio en la aceleración es abrupto.
t (segundos) t 0 t 1 t 2 t 3 s (metros) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 FIGURA 3.16 Comportamiento de una pelota que cae desde el reposo (ejemplo 4). Cerca de la superficie de la Tierra, todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante. Los experimentos de caída libre realizados por Galileo (ejemplo 1, sección 2.1,) nos llevan a la ecuación s = 1 2 gt 2 , donde s es la distancia y g es la aceleración debida a la gravedad terrestre. Esta ecuación se satisface en el vacío, donde no hay resistencia del aire, y representa bastante bien la caída de objetos densos y pesados —como rocas o herramientas de acero— durante los primeros segundos de su caída, antes que la resistencia del aire los empiece a frenar. El valor de g en la ecuación s = s1>2dgt depende de las unidades usadas para medir 2 t y s. Con t en segundos (la unidad usual), el valor de g es aproximadamente 32 piesNseg 2 (pies por segundo cuadrado) en unidades inglesas, y g = 9.8 mNseg 2 (metros por segundo cuadrado) en unidades métricas. (Estas constantes gravitacionales dependen de la distancia al centro de masa de la Tierra; por ejemplo, son ligeramente menores en la cima del monte Everest). La sacudida de la aceleración constante de la gravedad sg = 32 pies>seg es cero: 2d j = d sgd = 0. dt Un objeto no experimenta sacudidas durante la caída libre. 3.3 La derivada como razón de cambio 175 DEFINICIÓN Aceleración, sacudida La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Si la posición de un cuerpo en el tiempo t es s = f(t), entonces su aceleración en el tiempo t es astd = La sacudida es la derivada de la aceleración con respecto al tiempo: dy dt = d 2s . 2 dt jstd = da dt = d 3s dt EJEMPLO 4 Modelado de la caída libre La figura 3.16 muestra la caída libre de una bola pesada, soltada desde el reposo en el tiempo t = 0 seg. (a) ¿Cuántos metros cae la bola en los primeros 2 seg? (b) ¿Cuáles son su velocidad, su rapidez y su aceleración en ese instante? Solución (a) La ecuación métrica de caída libre es s = 4.9t Durante los primeros 2 seg, la bola cae 2 . ss2d = 4.9s2d 2 = 19.6 m. (b) En cualquier tiempo t, la velocidad es la derivada de la posición: 3 . ystd = s¿std = d dt s4.9t 2 d = 9.8t.
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Las expansiones decimales finitas r
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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Es fácil convencernos de que las p
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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2 y y 4 x 2 0 2 FIGURA 2.23 lím
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1 O y u 1 cos u Q ⎧ ⎪ ⎪ ⎪
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2 1 y 5 0 5 10 1 2 y 5x2 8x 3 3x
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4 2 4 2 2 4 y y 2x2 3 7x 4 FIGUR
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B 0 y x 0 y f(x) x 0 d x 0 d FIG
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Page 153 and 154: O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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. Encuentre los valores para b y c
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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. Use el teorema de Rolle para prob
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Precaución Para aplicar la regla d
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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Capítulo 5 Proyectos de aplicació
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Cómo determinar el centro de masa
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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y a y Superficie del fluido Placa v
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
Page 739 and 740:
13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
Page 747 and 748:
3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
Page 752 and 753:
I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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