Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Encontrar d en términos de t
1. Expresar y¿ =dy>dx en términos de t.
2. Encontrar dy¿>dt.
3. Dividir dy¿>dt entre dx>dt.
2y>dx 2
La recta tangente es
o
Si las ecuaciones paramétricas definen y como una función doblemente diferenciable
de x, podemos aplicar la ecuación (2) a la función dyNdx = y¿ para calcular d 2 yNdx 2 como
una función de t:
d 2y d
= 2 dx dx
3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 199
y - b
22 =-b a
y = b
22 - b a
y =- b a x + 22b.
s y¿d = dy¿>dt
dx>dt .
ax - a
22 b
ax - a
22 b
Ecuación (2) con y¿ en lugar de y
Fórmula paramétrica para d
Si las ecuaciones x = f(t), y = g(t) definen y como una función doblemente diferenciable
de x, entonces cualquier punto donde dxNdt Z 0,
2y/dx2 EJEMPLO 14 Determinación de d para una curva parametrizada
2y>dx2 Encontrar como una función de t si x = t - t 2 , y = t - t 3 d .
2y>dx2 Solución
1. Exprese y¿ =dy>dx en términos de t.
2. Derive y¿ con respecto a t.
dy¿
dt
= d
dt
3. Divida dy¿>dt entre dx>dt.
y¿ = dy
dx
d 2y dy¿>dt
= 2 dx dx>dt .
= dy>dt
dx>dt
2
2
- 3t 2 - 6t + 6t
a1 b =
1 - 2t s1 - 2td2 d 2 y dy¿>dt
= 2 dx dx>dt = s2 - 6t + 6t 2d>s1 - 2td2 =
1 - 2t
2 - 6t + 6t 2
EJEMPLO 15 Entrega de paquetes de emergencia
= 1 - 3t 2
1 - 2t
s1 - 2td 3
Regla del cociente
Ecuación (3)
Un avión de la Cruz Roja lanza paquetes con comida y medicamentos de emergencia para
abastecer una zona de desastre. Si el avión descarga los paquetes justo por encima del extremo
de un campo abierto de 700 pies de largo, y si el cargamento se mueve a lo largo de
la trayectoria
x = 120t y y = -16t 2 + 500, t Ú 0
(3)