Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

552 Capítulo 7: Funciones trascendentes
que describe un movimiento que comienza demasiado lento, pero
luego se vuelve tan rápido que deja de ser realista.
25. Los mejores ángulos para ramificaciones de vasos sanguíneos
y tuberías Cuando un tubo se ramifica en otro más pequeño en
un sistema de flujo, es posible que deseemos darle el ángulo más
adecuado desde el punto de vista del ahorro de energía. Se podría
requerir, por ejemplo, que la pérdida de energía a causa de la fricción
se minimice en la sección AOB de la figura siguiente. En este
diagrama, B es un punto dado al que debe tener acceso el tubo
pequeño. A es un punto del tubo más grande, corriente arriba de B
y O es el punto donde se localiza la ramificación. Una ley, debida
a Poiseuille establece que, en un flujo no turbulento, la pérdida de
energía a causa de la fricción es proporcional a la longitud del trayecto
recorrido, e inversamente proporcional a la cuarta potencia
del radio del tubo. Así, la pérdida a lo largo de AO es y a
lo largo de OB es skd2d>r donde k es una constante, d1 es la longitud
de AO, d2 es la longitud de OB, R es el radio del tubo grande
y r es el radio del tubo pequeño. Es necesario elegir el ángulo u de
modo que se minimice la suma de estas dos pérdidas:
4 skd1d>R
,
4
A
En nuestro modelo hemos supuesto que AC = a y BC = b son longitudes
fijas. De esta forma tenemos las relaciones
por lo cual
L = k d1 d2
+ k 4
R r
d 1
a
d1 + d2 cos u = a d2 sen u = b,
d2 = b csc u,
d1 = a - d2 cos u = a - b cot u.
O
d 2
4 .
d 2 cos
B
b d 2 sen
C
La pérdida total L se puede expresar como una función de u:
a - b cot u
L = k a
R 4 + b csc u
a. Demuestre que el valor crítico de u para el que dL>du es igual
a cero, es
uc = cos
4
-1 r
. 4
b. Si la razón entre los radios de los tubos es r>R = 5>6, estime
el ángulo de ramificación óptimo descrito en el inciso (a), redondeando
al grado más próximo.
El análisis matemático que hemos descrito se usa también para
explicar los ángulos en que se ramifican las arterias en el cuerpo
de un animal. (Vea Introduction to Mathematics for Life Scientists,
segunda edición, por E. Batschelet [Nueva York: Springer-
Verlag, 1976]).
T
26. Análisis de sangre por grupos Durante la Segunda Guerra
Mundial era necesario realizar análisis de sangre a grandes grupos
de reclutas. Por lo general, se utilizan dos métodos para efectuar
este tipo de análisis a N personas. Con el método 1, cada persona
es analizada por separado. Con el método 2, las muestras de
sangre de x personas se mezclan y se analizan como una sola
muestra grande. Si el resultado obtenido es negativo, ese análisis
será suficiente para todas las x personas. Si el análisis resulta positivo,
se analizará por separado a cada una de las x personas, lo
cual requerirá en total x + 1 análisis. Usando el segundo método y
la teoría de probabilidades, se puede demostrar que, en promedio,
el número total de análisis y será
y = N a1 - q x + 1 x b .
Con q = 0.99 y N = 1000, determine el valor entero de x que minimiza
y. Además determine el valor entero de x que maximiza y.
(Este segundo resultado no es importante en la situación real). El
método de los grupos se utilizó en la Segunda Guerra Mundial,
con un ahorro de 80% en comparación con el método de análisis
individuales, pero no con el valor de q dado.
R
r 4 b .