Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

416 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
Elección entre el método de las arandelas
y el de los casquillos
En los ejercicios 27 a 32, determine el volumen de los sólidos generados
al hacer girar las regiones alrededor de los ejes dados. Si considera
que sería mejor utilizar el método de las arandelas en alguno de ellos,
hágalo.
27. El triángulo con vértices (1, 1), (1, 2) y (2, 2) alrededor de
a. el eje x. b. el eje y.
c. la recta x = 10>3.
d. la recta y = 1.
28. La región acotada por y = 2x, y = 2, x = 0 alrededor de
a. el eje x. b. el eje y.
c. la recta x = 4.
d. la recta y = 2.
29. La región del primer cuadrante, acotada por la curva
alrededor de
a. el eje x. b. la recta y = 1.
30. La región del primer cuadrante, acotada por x = y - y
y y = 1 alrededor de
a. el eje x. b. el eje y.
c. la recta x = 1
d. la recta y = 1
3 , x = 1,
31. La región acotada por y y = x alrededor de
a. el eje x. b. el eje y.
2 y = 2x >8
32. La región acotada por y = 2x - x y y = x alrededor de
a. el eje y. b. la recta x = 1
2
x = y - y 3
33. La región del primer cuadrante, acotada por arriba por la curva
y = 1>x a la izquierda por la recta x = 1>16, y por abajo por
la recta y = 1, se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido.
Determine el volumen del sólido por medio de
a. el método de las arandelas. b. el método de los casquillos.
1>4 ,
34. La región del primer cuadrante, acotada por arriba por la curva
y = 1> 2x, a la izquierda por la recta x = 1>4, y por abajo por
la recta y = 1, se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido.
Determine el volumen del sólido por medio de
a. el método de las arandelas. b. el método de los casquillos.
6.3
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Arquímedes
(287-212 a. de C.)
Longitudes de curvas planas
Elección entre el método de los discos,
el de las arandelas y el de los casquillos
35. La región que se muestra a continuación se hace girar alrededor
del eje x para generar un sólido. ¿Cuál de los métodos (el de discos,
el de arandelas, o el de casquillos) podría utilizarse para determinar
el volumen del sólido? ¿Cuántas integrales son necesarias
en cada caso? Explique.
x 3y 2 2
–2
36. La región que se muestra a continuación se hace girar alrededor
del eje x para generar un sólido. ¿Cuál de los métodos (el de discos,
el de arandelas, o el de casquillos) podría utilizarse para determinar
el volumen del sólido? ¿Cuántas integrales son necesarias
en cada caso? Justifique sus respuestas.
1
0
–1
y
y x 2
y –x 4
1
y
0 1
1
(1, 1)
x y 2
Sabemos qué significa longitud de un segmento de recta, pero sin el cálculo no sabríamos
a ciencia cierta qué es longitud de una curva en general. La idea de calcular la longitud de
una curva que va del punto A al punto B por medio de la subdivisión de la curva en muchas
partes y la unión de los puntos sucesivos de la división mediante segmentos de recta, se remonta
a los antiguos griegos. Arquímedes utilizó este método para aproximar el perímetro
de una circunferencia: inscribió un polígono de n lados y utilizó propiedades geométricas
para calcular el perímetro de éste (figura 6.23). La extensión de esta idea al cálculo de la
x
x