Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

h
(b)
r 6 cm
Volumen del líquido
V 36h
Una taza medidora (a), modelada como un cilindro circular recto (b)
de radio r = 6 cm.
Definición formal de límite
En los ejercicios 7 a 10, use la definición formal de límite para probar
que la función es continua en x 0.
7. ƒsxd = x 8. gsxd = 1>s2xd, x0 = 1>4
2 - 7, x0 = 1
9. hsxd = 22x - 3, x0 = 2 10. Fsxd = 29 - x, x0 = 5
11. Unicidad del límite Pruebe que una función no puede tener dos
límites distintos en el mismo punto. Esto es, que si
ƒsxd = L1 y ƒsxd = L2, entonces L1 = L2.
límx:x0
a. b.
límx:0 + ƒsx 3 - xd
límx:x0
12. Demuestre la regla del límite del múltiplo constante:
13. Límites laterales Si y límx:0 encuentre
- límx:0 ƒsxd = B,
+ lím kƒsxd = k lím ƒsxd para cualquier consonante k.
x:c x:c
ƒsxd = A
c. d. límx:0 - ƒsx 2 - x 4 límx:0 d
+ ƒsx 2 - x 4 d
14. Límites y continuida ¿Cuáles de los enunciados siguientes son
verdaderos y cuáles falsos? Si la afirmación es verdadera, explique
por qué. Si es falsa, dé un contraejemplo (es decir, un ejemplo
que compruebe su falsedad).
a. Si existe pero no, entonces
tampoco existe.
b. Si no existe y no existe, entonces
tampoco.
c. Si f es continua en x, entonces también lo es
d. Si es continua en a, entonces también lo es f.
En los ejercicios 15 y 16, use la definición formal de límite para probar
que la función tiene una extensión continua en el valor dado de x.
15. 16. gsxd =
17. Una función continua sólo en un punto Sea
x2 - 2x - 3
ƒsxd = , x = 3
2x - 6
x2 límx:a ƒsxd límx:a gsxd
límx:asƒsxd + gsxdd
límx:a ƒsxd límx:a gsxd
límx:a sƒsxd + gsxdd
ƒ ƒ ƒ.
ƒ ƒ ƒ
- 1
, x = -1
x + 1
x, si x es racional
ƒsxd = e
0, si x es irracional.
límx:0 - ƒsx 3 - xd
a. Demuestre que f es continua en x = 0. x = 0.
b. Use el hecho de que todo intervalo abierto no vacío de números
reales contiene números racionales e irracionales, para
probar que f no es continua en valores de x distintos de cero.
18. La función regla de Dirichlet Si x es un número racional, entonces
x puede escribirse de manera única como un cociente de
los enteros m/n, donde n > 0 y m y n no tienen factores comunes
mayores que 1. Decimos que tal fracción está en su mínima expresión.
Por ejemplo, escrito en su mínima expresión, 6/4 es 3/2. Sea
f (x) definida para toda x en el intervalo [0, 1] por
1>n, si x = m>n es un número racional en su mínima expresión
ƒsxd = e
0, si x es irracional.
Por ejemplo, f(0) = f(1) = 1, f(1/2) = 1/2, f(1/3) = f(2/3) = 1/3,
f(1/4) = f(3/4) = 1/4 y así sucesivamente.
a. Pruebe que f es discontinua en todo número racional en [0, 1].
b. Pruebe que f es continua en todo número irracional en [0, 1].
(Sugerencia: Si P es un número positivo dado, demuestre que
hay únicamente un número finito de números racionales r en
[0, 1] tales que )
c. Trace la gráfica de f. ¿Por qué cree que a f se le denomina
“función regla”?
19. Puntos antípodas ¿Hay alguna razón para creer que siempre
existe un par de puntos antípodas (diametralmente opuestos) en el
ecuador de la Tierra, donde las temperaturas son iguales? Explique.
20. Si y
encuentre
21. Raíces casi lineales de ecuaciones cuadráticas La ecuación
ax 2 lím
x:c
+ 2x – 1 = 0, donde a es constante, tiene dos raíces si a > –1 y
a Z 0, una positiva y una negativa:
ƒsxdgsxd.
lím sƒsxd - gsxdd = -1,
x:c lím
ƒsrd ÚP.
sƒsxd + gsxdd = 3
x:c
r+sad =
Capítulo 2 Ejercicios adicionales y avanzados 145
a. ¿Qué le sucede a cuando ¿Cuando
b. ¿Qué le sucede a cuando ¿Cuando
c. Justifique las conclusiones a que llegó dibujando la gráfica de
r + (a) y r – (a) como funciones de a. Describa lo que ve.
d. Para mayor justificación, trace la gráfica de
ƒsxd = ax simultáneamente para
a = 1, 0.5, 0.2, 0.1, y 0.05.
22. Raíz de una ecuación Demuestre que la ecuación x + 2 cos x
= 0 tiene al menos una solución.
23. Funciones acotadas Una función de variable real f está acotada
por arriba en un conjunto D si existe un número N tal que f(x)
≤ N para toda x en D. Llamamos a N, cuando existe, una cota superior
de f en D, y decimos que f está acotada por arriba por N.
De manera análoga, decimos que f está acotada por abajo en D
si existe un número M tal que f(x) ≥ M para toda x en D. Llamamos
a M, cuando existe, una cota inferior de f en D, y decimos
que f está acotada por abajo por M. Decimos que f está acotada
en D si está acotada por arriba y por abajo.
a. Pruebe que f está acotada en D si y sólo si existe un número B
tal que ƒ ƒsxd ƒ … B para toda x en D.
b. Suponga que f está acotada por arriba por N. Demuestre que
si límx:x0 ƒsxd = L, entonces L … N.
c. Suponga que f está acotada por abajo por M. Pruebe que si
ƒsxd = L, entonces L Ú M.
2 a : -1
+ 2x - 1
+ a : -1
r-sad a : 0?
?
+ r+sad a : 0?
?
límx:x0
-1 + 21 + a
a , r-sad =
-1 - 21 + a
a .