Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

398 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas
0
y
Plano en x k1
x k1
La base del cilindro
es la región R(x k )
con área A(x k )
El cilindro que se
aproxima con base
en R(x k ) tiene altura
∆x k x k x k1
x k
NO ESTÁ A ESCALA
Plano en x k
FIGURA 6.4 La placa sólida delgada de
la figura 6.3 se aproxima mediante el
sólido cilíndrico con base R(x k), que tiene
área A(x k) y altura ¢xk = xk - xk - 1.
0
y
Sección transversal representativa
x
x
x
x (m)
FIGURA 6.5 Las secciones transversales
de la pirámide del ejemplo 1 son cuadrados.
BIOGRAFÍA HISTÓRICA
Bonaventura Cavalieri
(1598–1647)
3
3
3
x
DEFINICIÓN Volumen
El volumen de un sólido de área de sección transversal integrable conocida A(x)
desde x = a hasta x = b, es la integral de A desde a hasta b,
b
V = Asxd dx.
La
Esta definición se aplica siempre que A(x) sea continua o, de manera más general,
cuando es integrable. Para aplicar la fórmula de la definición en el cálculo del volumen de
un sólido, deben realizarse los pasos siguientes:
Cálculo del volumen de un sólido
1. Bosqueje el sólido y una sección transversal representativa.
2. Determine una fórmula para A(x), el área de una sección transversal
representativa.
3. Determine los límites de integración.
4. Integre A(x) por medio del Teorema Fundamental.
EJEMPLO 1 Volumen de una pirámide
Una pirámide de 3 m de altura tiene una base cuadrada que tiene 3 m por lado. La sección
transversal de la pirámide, perpendicular a una altura de x m del vértice, es un cuadrado de
x m por lado. Determinar el volumen de la pirámide.
Solución
1. Bosquejar. Comenzamos por dibujar la pirámide con su altura a lo largo del eje x y su
vértice en el origen, e incluimos una sección transversal representativa (figura 6.5).
2. Determinación de una fórmula para A(x). La sección transversal en x es un cuadrado
de x metros por lado, de modo que su área es
3. Definición de los límites de integración. Los cuadrados se encuentran en los planos de
x = 0 a x = 3.
4. Integración para determinar el volumen.
V = Asxd dx =
L0
L0
EJEMPLO 2 Principio de Cavalieri
3
Asxd = x 2 .
3
x 2 dx = x3
3 d 0
El principio de Cavalieri establece que sólidos con alturas iguales e idénticas áreas de sección
transversal en cada altura tienen el mismo volumen (figura 6.6). Esto es consecuencia
directa de la definición de volumen, ya que la función del área de la sección transversal
A(x) y el intervalo [a, b] son los mismos para ambos sólidos.
3
= 9 m 3