Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

17. Utilice la figura siguiente para demostrar que
18. Desigualdad de Napier Éstas son dos pruebas gráficas de que
Explique cómo se desarrolla cada una de ellas.
a. y
L 3
y ln x
b.
0 a b
y
L 1
ln e
e
ln
y
0 1 e
L0
p>2
b 7 a 7 0 Q 1 ln b - ln a
6 6
b b - a
1 a .
y 1 x
2
1
y
y
0 a b
ln x
x
sen x dx = p
2 - sen
L0
-1 x dx.
y sen –1 x
0 1
L 2
NO ESTÁ A ESCALA
x
y sen x
(Fuente: Roger B. Nelson, Collage Mathematics Journal, vol. 24,
núm. 2, marzo de 1993, pág. 165).
1
2
x
x
x
Capítulo 7 Ejercicios adicionales y avanzados 551
19. Descomposiciones par-impar
a. Suponga que g es una función par de x y h es una función impar
de x. Demuestre que si g(x) + h(x) = 0 para toda x, entonces
g(x) = 0 para toda x y h(x) = 0 para toda x.
b. Utilice el resultado del inciso (a) para demostrar que si
f (x) = f P(x) + f I (x) es la suma de una función par f P(x) y una
función impar f I (x), entonces
ƒEsxd = sƒsxd + ƒs -xdd>2
y ƒOsxd = sƒsxd - ƒs -xdd>2.
c. ¿Qué significa el resultado del inciso (b)?
20. Sea g una función diferenciable en todo intervalo abierto que contiene
al origen. Suponga que g tiene las siguientes propiedades:
i. para todos los números reales x,
y y x + y en el dominio de g.
ii.
iii.
a. Demuestre que
b. Demuestre que g¿sxd = 1 + [gsxd]
c. Determine g(x) resolviendo la ecuación diferencial del inciso
(b).
2 lím
h:0
gs0d = 0.
.
gshd
gsxd + gsyd
gsx + yd =
1 - gsxdgsyd
lím gshd = 0
h:0
= 1
h
Aplicaciones
21. Centro de masa Halle el centro de masa de un placa delgada
con densidad constante que cubre una región localizada en el
primero y cuarto cuadrantes y está delimitada por las curvas
y y por las rectas x = 0 y x = 1.
22. Sólido de revolución La región que está entre la curva
y el eje x, de a , se gira sobre el eje
x para generar un sólido.
a. Calcule el volumen del sólido.
b. Determine el centroide de la región.
23. La regla del 70 Si utiliza la aproximación (en lugar
de 0.69314. . . ), puede deducir una regla práctica que dice: “Para
estimar cuántos años tardará una suma de dinero en duplicarse
cuando se invierte a r por ciento de interés compuesto continuo,
divida r entre 70”. Por ejemplo, una suma invertida a 5% se duplicará
al cabo de unos años. Si desea que se duplique en
10 años, tendrá que invertir dicha suma a Demuestre
cómo se deduce la regla del 70. (“La regla del 72” es similar,
pero usa 72 en lugar de 70 porque 72 tiene más factores enteros).
24. Caída libre en el siglo XIV A mediados del siglo XIV, Alberto
de Sajonia (1316-1390) propuso un modelo para la caída libre, en
el cual suponía que la velocidad de un cuerpo que cae es proporcional
a la distancia recorrida en la caída. Parecía razonable pensar
que si un cuerpo había caído 20 pies, descendería al doble de velocidad
que otro que había caído 10 pies. Además, ninguno de los
instrumentos disponibles en aquella época era lo suficientemente
preciso para probar lo contrario. Hoy podemos ver qué equivocado
estaba el modelo de Alberto de Sajonia, si resolvemos el problema
con valor inicial que está implícito en él. Resuelva el problema y
compare gráficamente su solución con la ecuación s =16t 2 y = -1>s1 + x
y = 1>s21xd
x = 1>4 x = 4
ln 2 L 0.70
70>5 = 14
70>10 = 7%.
. Verá
2 y = 1>s1 + x d
2 d