Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2
1
y
y 3x 2
Pendiente 3(2x)
6x
3 (1, 3) 6(1) 6
0 1
y x 2
Pendiente 2x
2(1) 2
(1, 1)
FIGURA 3.9 Las gráficas de y
y = 3x Triplicando la coordenada y se
triplica la pendiente (ejemplo 3).
2 y = x
.
2
Notación de las funciones mediante
u y y
Al buscar una fórmula de
diferenciación, es probable encontrar
que las funciones con las que se trabaja
estén denotadas mediante letras como f
y g. Sin embargo, cuando se aplica la
fórmula lo mejor sería no emplear las
mismas letras para denotar algo
distinto. Para evitar este problema, en
las reglas de diferenciación suelen
utilizarse letras como u y y para denotar
las funciones, ya que probablemente no
se hayan usado en otro lado.
2
x
En particular, si n es un entero positivo, entonces
EJEMPLO 3
(a) La fórmula de la derivada
dice que si modificamos la escala de la gráfica de y = x 2 multiplicando cada coordenada
y por 3, la pendiente en cada punto se multiplica también por 3 (figura 3.9).
(b) Un caso especial útil
La derivada del negativo de una función diferenciable u es el negativo de la derivada
de la función. La aplicación de la regla 3 con c = -1da
Demostración de la regla 3
d
dx scxn d = cnx n - 1 .
d
dx s3x2 d = 3 # 2x = 6x
d d
s -ud =
dx dx s -1 # ud = -1 # d
sud =-du
dx dx .
d cusx + hd - cusxd
cu = lím
dx h:0 h
usx + hd - usxd
= c lím
h:0 h
= c du
dx
3.2 Reglas de diferenciación 161
REGLA 3 Regla del múltiplo constante
Si u es una función diferenciable de x, y c es una constante, entonces
d du
scud = c
dx dx .
Propiedad del límite
u es diferenciable.
La siguiente regla dice que la derivada de la suma de dos funciones diferenciables es
la suma de sus derivadas.
REGLA 4 Regla de la derivada de una suma
Si u y y son funciones diferenciables de x, entonces su suma u + y es diferenciable
en todo punto donde tanto u como y sean diferenciables. En tales puntos
d
du
su + yd =
dx dx
+ dy
dx .
Definición de la
derivada con
ƒsxd = cusxd