Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

1
1
2
0
y
y f(x)
1 2
El valor promedio,
1/2 no se alcanza
FIGURA 5.17 Una función discontinua
no tiene que alcanzar su valor promedio.
4
5
2
1
y
y 4 x
0 1 3
2
2 3 4
FIGURA 5.18 El área del rectángulo con
base [0, 3] y altura 5>2
(el valor promedio
de la función ƒsxd = 4 - x)
es igual al
área entre la gráfica de f y el eje x, de 0 a 3
(ejemplo 1).
x
x
Demostración Si dividimos ambos lados de la desigualdad máx-mín (regla 6, tabla 5.3)
entre sb - ad, obtenemos
Como f es continua, el teorema del valor intermedio para funciones continuas (sección
2.6) dice que f debe alcanzar todos los valores entre mín f y máx f. Por lo tanto, debe alcan-
b
zar el valor s1>sb - add1 ƒsxd dx en algún punto c de [a, b].
Aquí, la continuidad de f es importante. Es posible que una función discontinua nunca
alcance su valor promedio (figura 5.17).
EJEMPLO 1 Aplicación del teorema del valor medio para integrales
Encontrar el valor promedio de ƒsxd = 4 - x en [0, 3] y un punto del dominio en donde f
alcanza este valor.
Solución
promsƒd =
=
1
3 - 0
= 1
3
1
b - a
= 4 - 3
2
ƒsxd dx
La
3
s4 - xd dx =
L0
1
3 a 4 dx - x dxb
L0
L0
a4s3 - 0d - a32
2
= 5
2 .
Sección 5.3, ecs. (1) y (2)
El valor promedio de ƒsxd = 4 - x en [0, 3] es 5>2.
La función alcanza este valor cuando
4 - x = 5>2 o x = 3>2. (Figura 5.18)
En el ejemplo 1, encontramos un punto c en donde f toma su valor promedio haciendo
f(x) igual al valor promedio calculado y resolviendo para x. No siempre se puede encontrar
fácilmente el valor c. ¿Qué más podemos aprender del teorema del valor medio para
integrales? A continuación se da un ejemplo.
EJEMPLO 2 Probar que si f es continua en [a, b], a Z b, y si
entonces ƒsxd = 0 al menos una vez en [a, b].
Solución El valor promedio de f en [a, b] es
a
b
mín ƒ …
promsƒd =
1
b - a
- 02
2 bb
1
b - a
b
ƒsxd dx … máx ƒ.
La
ƒsxd dx = 0,
La
b
5.4 El teorema fundamental del cálculo 357
3
ƒsxd dx =
La
1
b - a # 0 = 0.
De acuerdo con el teorema del valor medio, f alcanza este valor en algún punto
c H [a, b].
b
3