Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

a. Si t representa el tiempo, en años, y y representa el tamaño de
los dientes, use la condición y = 0.99y 0 cuando t = 1000 para
determinar el valor de k en la ecuación y = y 0e kt . Luego use
este valor de k para responder las siguientes preguntas.
b. ¿Cuántos años pasarán para que los dientes humanos tengan
90% de su tamaño actual?
c. ¿Cuál será el tamaño de los dientes de nuestros descendientes
dentro de 20,000 años (como porcentaje del tamaño actual)?
(Fuente: LSA Magazine, primavera 1989, vol. 12, núm. 2, pág.
19, Ann Arbor, Michigan).
2. Presión atmosférica La presión atmosférica de la Tierra, p,
suele modelarse suponiendo que la tasa dp> dh a la que cambia
p de acuerdo con la altura sobre el nivel del mar, h, es proporcional
a p. Suponga que la presión al nivel del mar es de 1013 milibares
(aproximadamente 14.7 libras por pulgada cuadrada), y que
a una altura de 20 km es de 90 milibares.
a. Resuelva el problema con valor inicial
Ecuación diferencial: dp> dh = kp (k una constante)
Condición inicial: p = p0 cuando h = 0
para expresar a p en términos de h. Determine los valores de
p0 y k a partir de la información de altura y presión dada.
b. ¿Cuál es la presión atmosférica a h = 50 km?
c. ¿A qué altura la presión es igual a 900 milibares?
3. Reacciones químicas de primer orden En algunas reacciones
químicas, la tasa a la que la cantidad de una sustancia cambia de
acuerdo con el tiempo es proporcional a la cantidad presente. Por
ejemplo, para la transformación de d-glucono lactona en ácido
glucónico tenemos
dy
dt
cuando t se mide en horas. Si hay 100 gramos de d-glucono lactona
cuando t = 0, ¿cuántos gramos quedarán después de la primera
hora?
4. Inversión del azúcar El procesamiento de azúcar sin refinar incluye
un paso denominado “inversión”, que cambia su estructura
molecular. Una vez que este proceso inicia, la tasa de cambio de la
cantidad de azúcar sin refinar es proporcional a la cantidad de
azúcar que queda sin refinar. Si durante las primeras 10 horas,
1000 kg de azúcar sin refinar se reducen a 800 kg, ¿qué cantidad
de azúcar sin refinar quedará después de otras 14 horas?
5. Trabajo submarino La intensidad de la luz, L(x), a x pies bajo
la superficie del océano satisface la ecuación diferencial
dL
dx
= -0.6y
= -kL.
Un buzo sabe, por experiencia, que la intensidad de la luz se reduce
a la mitad cuando se está a 18 pies de profundidad en el mar
Caribe. Cuando la intensidad de la luz se reduce a menos de una
décima parte de su valor en la superficie, es imposible trabajar sin
luz artificial. ¿Hasta qué profundidad se puede trabajar sin luz artificial?
7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 509
6. Voltaje en un condensador que se descarga Suponga que la
electricidad fluye de un condensador a una velocidad que es proporcional
al voltaje V que cruza sus terminales y que, si t se mide
en segundos,
Resuelva esta ecuación para V, usando V0 para denotar el valor de
V cuando t = 0. ¿Cuánto tardará el voltaje en reducirse a 10%
de su valor original?
7. Bacteria del cólera Suponga que las bacterias de una colonia
crecen sin freno, de acuerdo con la ley de cambio exponencial. La
colonia inicia con 1 bacteria y su población se duplica cada media
hora. ¿Cuántas bacterias tendrá la colonia al término de 24 horas?
(En condiciones de laboratorio favorables, el número de bacterias
de cólera puede duplicarse cada 30 minutos. En una persona infectada,
muchas bacterias se destruyen, pero este ejemplo explica
por qué una persona afectada de cólera que se siente bien en la
mañana, por la noche puede estar muy grave).
8. Crecimiento de bacterias Una colonia de bacterias crece bajo
condiciones ideales en un laboratorio, de modo que la población
aumenta de forma exponencial con el paso del tiempo. Después
de 3 horas hay 10,000 bacterias. Después de 5, hay 40,000. ¿Cuántas
bacterias había al principio?
9. Incidencia de una enfermedad (Continuación del ejemplo 1).
Suponga que en cualquier año dado el número de casos puede reducirse
25% en lugar de 20%.
a. ¿Cuánto tardará en reducirse a 1000 el número de casos?
b. ¿Cuánto tardará en erradicarse la enfermedad, esto es, en reducirse
a menos de 1 el número de casos?
10. Población de Estados Unidos El Museo de Ciencias en Boston
lleva un registro permanente de la población total de Estados Unidos.
El 11 de mayo de 1993, el total crecía a razón de 1 persona cada
14 segundos. A las 3:45 p.m. de ese día, el total era de 257,313,431
personas.
a. Suponiendo que hay un crecimiento exponencial a razón
constante, determine la constante para la tasa de crecimiento
de la población (personas por año de 365 días).
b. A esta tasa, ¿cuál será la población de Estados Unidos a las
3:45 p.m. del 11 de mayo de 2008?
11. Agotamiento del petróleo Suponga que la cantidad de petróleo
bombeado desde un pozo en Whittier, California, disminuye a
una razón continua de 10% al año. ¿Cuándo llegará la producción
a un quinto de su valor actual?
12. Descuento continuo en precio Para alentar a los clientes a hacer
compras de 100 unidades, el departamento de ventas de su
compañía aplica un descuento continuo, lo que hace del precio
unitario una función p(x) del número x de unidades compradas.
El descuento reduce el precio a razón de $0.01 por unidad comprada.
El precio por unidad para una orden de 100 unidades es
p(100) = $20.09.
a. Determine p(x) resolviendo el siguiente problema con valor
inicial:
dp 1
Ecuación diferencial: =-
dx 100 p
dV
dt
Condición inicial: ps100d = 20.09.
=-1
40 V.