Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

48 Capítulo 1: Preliminares
Elipses
En los ejercicios 71-76 se dan las ecuaciones de elipses en forma general;
cambie cada ecuación a la forma estándar y trace la gráfica de
la elipse.
71. 72.
73. 74.
75. 3sx - 1d2 + 2s y + 2d 2 sx + 1d
= 6
2 + 2y 2 3x = 4
2 + s y - 2d 2 16x
= 3
2 + 7y 2 9x = 112
2 + 25y 2 = 225
76.
6 ax + 3
2 b
2
+ 9 ay - 1
2 b
2
= 54
77. Escriba una ecuación para la elipse sx desplazada
4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba.
Trace la gráfica de la elipse e identifique su centro y su eje mayor.
2 >16d + sy 2 >9d = 1
78. Escriba una ecuación para la elipse sx desplazada
3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.
Trace la gráfica de la elipse e identifique su centro y su eje mayor.
2 >4d + sy 2 >25d = 1
1.6
B'
B
θ
1
C A
r
Círculo unitario
Círculo con radio
s
FIGURA 1.63 La medida en radianes de
un ángulo ACB del arco u es la longitud AB
en el círculo unitario con centro en C. El
valor de u se puede encontrar a partir de
cualquier otro círculo, como la razón s>r.
Así, s = ru es la longitud de arco en un
círculo con radio r cuando u está medido
en radianes.
Fórmulas de conversión
Para convertir grados a radianes:
multiplicar por
1 radianes = 180
1 grado =
p
180
p s L57d grados
p
s L0.02d radianes
180
Funciones trigonométricas
A'
Para convertir radianes a grados:
multiplicar por 180
p
T
T
Funciones pares e impares
79. Suponga que f es una función par, g es una función impar y ambas,
ƒ y g están definidas para todo número real . ¿Cuáles de las
siguientes funciones (de estar definidas) son pares? ¿Cuáles son
impares?
a. b. c.
d. e. g f. ƒ g
g. g ƒ
h. ƒ ƒ
i. g g
2 ƒ = gg
2 ƒg
ƒ>g
g>ƒ
= ƒƒ
80. ¿Una función puede ser par e impar al mismo tiempo? Justifique
su respuesta.
81. (Continuación del ejemplo 1) Trace las gráficas de las funciones
y junto con su (a) suma, (b) producto,
(c) sus dos restas, (d) sus dos cocientes, en el mismo plano
cartesiano.
82. Sean y gsxd = x Trace las gráficas de f y g junto
con ƒ g y g ƒ.
2 ƒsxd = 2x gsxd = 21 - x
ƒsxd = x - 7
.
En esta sección se revisan las funciones trigonométricas básicas. Las funciones trigonométricas
son importantes, porque son periódicas o se repiten y, por lo tanto, éstas modelan
muchos procesos naturales periódicos.
Medida en radianes
En navegación y astronomía los ángulos se miden en grados, pero en el cálculo es mejor
usar las unidades llamadas radianes, debido a que simplifican los cálculos.
La medida en radianes del ángulo ACB en el centro del círculo unitario (figura 1.63),
es igual a la longitud del arco que corta ACB del círculo unitario. En la figura 1.63 se
muestra que s = ru es la longitud del arco de un círculo con radio r cuando el ángulo
subtendido u que produce el arco se mide en radianes.
Como la circunferencia del círculo es 2p y una revolución completa del círculo equivale
a 360º, la relación entre radianes y grados está dada por
Por ejemplo, en radianes, 45º equivalen a
y p>6 radianes es
p radianes = 180°.
45 # p
180
p # 180
6 p
= p
4 rad,
= 30°.
En la figura 1.64 se muestran los ángulos de dos triángulos muy usuales en ambas medidas.
Se dice que un ángulo en el plano xy está en posición estándar o canónica si su vértice
se ubica en el origen y su rayo (lado) inicial está a lo largo del eje x positivo (figura
1.65). A los ángulos medidos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj
desde el eje x positivo, se les asignan medidas positivas; a los ángulos medidos en el
sentido del movimiento de las manecillas del reloj se les asignan medidas negativas.