Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

4
3
2
1
y
1 x
y
1 0
1
1 2 3 4
FIGURA 2.31 La gráfica de y = 1>x.
x
(b) La ecuación (1) no se aplica a la fracción original. Necesitamos un 2x en el denominador,
no un 5x. Para obtenerlo multiplicamos por 2>5 el numerador y el denominador: :
sen 2x
lím
x:0 5x
Límites finitos cuando x : — ˆ
2.4 Límites laterales y límites al infinito 107
= lím
x:0 s2>5d # sen 2x
s2>5d # 5x
= 2
5 lím
sen 2x
x:0 2x
= 2 2
s1d =
5 5
Ahora se aplica la
ecuación (1) con u 2x.
El símbolo que designa infinito s q d no representa un número real. Lo usamos para describir
el comportamiento de una función cuando los valores sobrepasan, en su dominio o
rango, cualesquiera cotas finitas. Por ejemplo, la función f(x) 0 1/x está definida para toda
x Z 0 (figura 2.31). Cuando x es positiva y se vuelve muy grande, 1/x se hace cada vez más
pequeña. Cuando x es negativo y su magnitud se vuelve cada vez más grande, nuevamente
1/x se hace pequeña. Para resumir estas observaciones, diremos que f(x) = 1/x tiene límite
0 cuando x : ; q o que 0 es el límite de f(x) = 1/x al infinito, tanto positivo como negativo.
A continuación se da la definición exacta.
DEFINICIONES Límite cuando x se aproxima a ˆ o ˆ
1. Decimos que f(x) tiene el límite L cuando x tiende al infinito, y escribimos
lím ƒsxd = L
x: q
si, para cada número P > 0, existe un número M correspondiente tal que para toda x
x 7 M Q ƒƒsxd - L ƒ 6P.
2. Decimos que f(x) tiene el límite L cuando x tiende a menos infinito, y escribimos
lím ƒsxd = L
x: -q
si, para cada número P > 0, existe un número N correspondiente tal que para
toda x
x 6 N Q ƒƒsxd - L ƒ 6P.
Intuitivamente, límx:q ƒsxd = L
si cuando x se aleja cada vez más del origen en dirección
positiva, f(x) se acerca arbitrariamente a L. De manera similar límx:-q ƒsxd = L si,
cuando x se aleja del origen en dirección negativa, f(x) se acerca arbitrariamente a L.
La estrategia para calcular límites de funciones cuando x : ; q es similar a la que
se explicó en la sección 2.2 para determinar límites finitos. Ahí primero encontramos los
límites de las funciones constante e identidad, y = k y y = x. Después extendimos los resultados
a otras funciones, mediante la aplicación de un teorema sobre límites de combinaciones
algebraicas. Aquí haremos lo mismo, pero empezaremos con las funciones y = k y
y = 1/x en lugar de y = k y y = x.