Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

590 Capítulo 8: Técnicas de integración
x 2 4
2
x
FIGURA 8.8 Triángulo de referencia para
x = 2 tan u (ejemplo 4).
–a
b
–b
y
0 a
x
FIGURA 8.9 La elipse del
ejemplo 5.
2 2
y
+ = 1
2 2 a b
x
(figura 8.8). Con estas sustituciones,
EJEMPLO 5 Determinación del área de una elipse
Determine el área acotada por la elipse
Solución Ya que la elipse es simétrica respecto de ambos ejes, el área total A es cuatro
veces el área en el primer cuadrante (figura 8.9). Resolviendo la ecuación de la elipse para
y Ú 0, obtenemos
o
1
y
y 4
x 2 4
0 2
V = 16p
L0
= 16p
L0
= 16p
L0
= p
L0
= p c p
4
(a)
FIGURA 8.7 La región (a) y el sólido (b) del ejemplo 4.
p>4
2
dx
sx 2 + 4d 2
p>4
p>4
2 sec2 u du
s4 sec 2 ud 2
2 sec2 u du
16 sec4 u = p L0
s1 + cos 2ud du = p cu +
1
+ d L 4.04.
2
y 2
p>4
x2 2 y
+ = 1
2 2 a b
x2
= 1 - 2 b a2 = a2 - x2 a2 2 cos 2 u du
p>4
sen 2u
d
2 0
y = b a 2a2 - x 2 0 … x … a
x
,
0
y
y 4
x 2 4
(b)
2
u = 0 cuando x = 0;
u = p>4 cuando x = 2
2 cos 2 u = 1 + cos 2u
x