Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

612 Capítulo 8: Técnicas de integración
TABLA 8.5 Aproximaciones de la regla del trapecio y de la regla de Simpson
2
para ln 2 = 11 s1>xd dx
ƒ Error ƒ
ƒ Error ƒ
n Tn
menos que Á Sn
menos que Á
10 0.6937714032 0.0006242227 0.6931502307 0.0000030502
20 0.6933033818 0.0001562013 0.6931473747 0.0000001942
30 0.6932166154 0.0000694349 0.6931472190 0.0000000385
40 0.6931862400 0.0000390595 0.6931471927 0.0000000122
50 0.6931721793 0.0000249988 0.6931471856 0.0000000050
100 0.6931534305 0.0000062500 0.6931471809 0.0000000004
sSnd
sTnd
Esto tiene un efecto radical cuando ¢x = s2 - 1d>n se hace pequeño. La aproximación
de Simpson para n = 50 aproxima a siete decimales y para n = 100 coincide con nueve
decimales (¡una aproximación de mil millonésimas!).
Si f (x) es un polinomio de grado menor que cuatro, entonces su cuarta derivada será cero, y
ES =-
En consecuencia, no habrá error en la aproximación de Simpson de cualquier integral de
f. En otras palabras, si f es una constante, una función lineal, o un polinomio cuadrático o
cúbico, la regla de Simpson dará el valor exacto de cualquier integral de f, sin importar el
número de subdivisiones. De manera similar, si f es una constante o una función lineal, su
segunda derivada es cero y
ET =-
Por lo tanto, la regla del trapecio dará el valor exacto de cualquier integral de f. Esto no es
de sorprender, ya que los trapecios se ajustan perfectamente a la gráfica. Aunque, en teoría,
la disminución del tamaño del paso, x, reduce el error en las aproximaciones de
Simpson y del trapecio, en la práctica podría no ser así.
Cuando x es muy pequeña, digamos x = 10 –5 , los errores de redondeo de las
computadoras y calculadoras en la aritmética que se requiere para calcular S y T pueden
acumularse a tal grado que las fórmulas de error podrían dejar de describir lo que pasa. La
reducción de x por debajo de cierto tamaño podría empeorar las cosas. Éste no es tema
de este libro, si tiene problemas con el redondeo, debe consultar algún texto de análisis numérico
para encontrar métodos alternativos.
EJEMPLO 8 Estimar
con la regla de Simpson.
b - a
180 f (4) scds¢xd 4 b - a
=-
180 s0ds¢xd4 = 0.
b - a
12 ƒ–scds¢xd2 b - a
=-
12 s0ds¢xd2 = 0.
L0
2
x 3 dx