Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

. Use el teorema de Rolle para probar que entre cualesquiera
dos ceros de hay un cero de
nx n - 1 + sn - 1dan - 1xn - 2 + Á x
+ a1.
n + an - 1xn - 1 + Á + a1 x + a0
12. Suponga que ƒ– es continua en [a, b] y que f tiene tres ceros en el
intervalo. Demuestre que ƒ– tiene por lo menos un cero en (a, b).
Generalice el resultado.
13. Pruebe que si ƒ– 70 en todo el intervalo [a, b], entonces ƒ¿ tiene
por lo menos un cero en [a, b]. ¿Qué pasa siƒ– 60 en todo un intervalo
[a, b]?
14. Demuestre que una función polinomial cúbica puede tener cuando
mucho tres ceros reales.
Pruebe que las funciones de los ejercicios 15 a 22 tienen exactamente
un cero en el intervalo dado.
15. ƒsxd = x4 + 3x + 1, [-2, -1]
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
ƒsxd = x
gstd = 2t + 21 + t - 4, s0, q d
3 + 4
+ 7, s - q, 0d
2 x
gstd =
1
1 - t
+ 21 + t - 3.1, s -1, 1d
rsud = sec u -
rsud = tan u - cot u - u, s0, p>2d
1
rsud = 2u - cos
+ 5, s0, p>2d
3 u 2 rsud = u + sen
u + 22, s - q, q d
2 a u
b - 8, s - q, q d
3
Determinación de funciones
a partir de derivadas
23. Suponga que ƒs -1d = 3 y que ƒ¿sxd = 0 para toda x. ¿Debe ser
ƒsxd = 3 para toda x? Justifique su respuesta.
24. Suponga que ƒs0d = 5 y que ƒ¿sxd = 2 para toda x. ¿Debe ser
ƒsxd = 2x + 5 para toda x? Justifique su respuesta.
25. Suponga que ƒ¿sxd = 2x para toda x. Encuentre f(2) si
a. ƒs0d = 0 b. ƒs1d = 0 c. ƒs -2d = 3.
26. ¿Qué se puede decir acerca de las funciones cuyas derivadas son
constantes? Justifique su respuesta.
En los ejercicios 27 a 32, encuentre todas las funciones posibles con la
derivada dada.
27. a. b. c.
28. a. b. c.
29. a. b. c.
30. a. b. c.
31. a. b. c.
32. a. b. c. y¿ =2u - sec2 y¿ =sec y¿ =2u
u
2 y¿ =sen 2t + cos
u
t
y¿ =cos
2
t
y¿ =4x -
y¿ =sen 2t
2
1
y¿ =
2x
1
y¿ =5 +
1
y¿ =
22x
2x
1
x2 y¿ =1 - 1
x2 y¿ =- 1
x2 y¿ =3x2 y¿ =x
y¿ =2x y¿ =2x - 1
+ 2x - 1
3
y¿ =x2 y¿ =x
4.2 El teorema del valor medio 261
En los ejercicios 33 a 36, encuentre la función con la derivada dada
cuya gráfica pase por el punto P.
33.
34.
35. r¿sud = 8 - csc
36. r¿std = sec t tan t - 1, Ps0, 0d
2 u, P a p
g¿sxd =
, 0b
4 1
ƒ¿sxd = 2x - 1, Ps0, 0d
+ 2x, Ps -1, 1d
2
x
Determinación de la posición a partir
de la velocidad
En los ejercicios 37 a 40 se da la velocidad y la posición
inicial de un cuerpo que se mueve a lo largo de una recta coordenada.
Encuentre la posición del cuerpo en el tiempo t.
37. 38.
39. 40. y = 2 2t
p cos p , ssp2 y = ds>dt
y = 9.8t + 5, ss0d = 10 y = 32t - 2, ss0.5d = 4
y = sen pt, ss0d = 0
d = 1
Determinación de la posición a partir
de la aceleración
En los ejercicios 41 a 44 se da la aceleración la velocidad
inicial y la posición inicial de un cuerpo que se mueve a lo largo
de una recta coordenada. Encuentre la posición del cuerpo en el tiempo
t.
41.
42.
43.
44. a = 9
a = d
a = 32, ys0d = 20, ss0d = 5
a = 9.8, ys0d = -3, ss0d = 0
a = -4 sen 2t, ys0d = 2, ss0d = -3
3t
cos 2
p
p , ys0d = 0, ss0d = -1
2 s>dt 2 ,
Aplicaciones
45. Cambio de temperatura Un termómetro de mercurio tardó 14
segundos en subir de a 100ºC cuando se sacó de un congelador
y se colocó en agua hirviendo. Demuestre que en algún
momento el mercurio está subiendo a una razón de 8.5º .
46. Un camionero recibió una multa en la caseta de cobro de una autopista,
según la cual en 2 horas había recorrido 159 millas en la
autopista con un límite de velocidad de 65 millas/hora. El camionero
fue multado por exceso de velocidad. ¿Por qué?
47. Los relatos clásicos nos dicen que una trirreme con 170 remos
(barco de guerra de la antigua Grecia o la antigua Roma) una vez
cubrió 184 millas náuticas en 24 horas. Explique por qué en algún
momento de esta hazaña la rapidez de la trirreme excedió los 7.5
nudos (millas náuticas por hora).
48. Una maratonista corre en 2.2 horas el maratón de la ciudad de
Nueva York, cuya ruta mide 26.2 millas. Demuestre que la maratonista
corrió exactamente a 11 millas/hora por lo menos dos veces
durante el recorrido.
49. Pruebe que en algún instante durante un viaje en automóvil de
2 horas, la lectura del velocímetro será igual a la rapidez promedio
del viaje.
50. Caída libre en la Luna La aceleración de la gravedad en la
Luna es 1.6 m>seg Si se lanza una roca al interior de una grieta,
¿qué tan rápido estará cayendo justo antes de golpear el fondo
30 segundos después?
2 -19°C
C>seg
.