Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

7.3 La función exponencial 489
El teorema 3 también es válido para a x , la función exponencial con base a. Por ejemplo,
Definición de
Ley 1
Factorizar ln a
Definición de
La derivada y la integral de
La función exponencial tiene derivada porque es la inversa de una función diferenciable
cuya derivada nunca es cero (teorema 1). Para calcular su derivada utilizamos el teorema 1
y nuestro conocimiento de la derivada de ln x. Sea
Entonces,
dy
dx
a x1 # a x2 = e x1 ln a # e x2 ln a
= e x1 ln a + x2 ln a
= e sx1 + x2dln a
= a x1 + x2 .
e x
ƒsxd = ln x y y = e x = ln -1 x = ƒ -1 sxd.
= d
dx sex d = d
dx ln-1 x
= d
dx ƒ -1 sxd
=
=
=
1
ƒ¿sƒ -1 sxdd
1
ƒ¿se x d
1
a 1
ex b
= e x .
Teorema 1
ƒ -1 sxd = e x
ƒ¿szd = 1 z
con z = ex
Esto es, para y = e x , encontramos que , así que la función exponencial natural
es su propia derivada. En la sección 7.5 veremos que las únicas funciones que tienen esta
propiedad son los múltiplos constantes de e x dy>dx = e
. En resumen,
x
d
dx ex = e x
EJEMPLO 5 Diferenciación de una exponencial
d
dx s5ex d = 5 d
dx ex
= 5e x
La regla de la cadena amplía la ecuación (5) en la manera usual, dándole una forma más
general.
a x
a x
(5)