Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

x
tan
a
–1
–1
–1
2
–
2
2
–
2
0
x
sen
a
–1
0 1
0 1
x
a
x
sec
a
–1
FIGURA 8.3 Arco tangente, arco seno y
arco secante de x> a, graficados como
funciones de x> a.
x
a
2
x
a
Tres sustituciones básicas
a 2 x 2
x
a
a
a a
2 x2 x a tan x a sen x a sec
8.5 Sustituciones trigonométricas 587
Las sustituciones más comunes son x = a tan u, x = a sen u y x = a sec u. Provienen de los
triángulos de referencia de la figura 8.2.
Con x = a tan u,
Con x = a sen u,
Con x = a sec u,
a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 u = a 2 s1 + tan 2 ud = a 2 sec 2 u.
a 2 - x 2 = a 2 - a 2 sen 2 u = a 2 s1 - sen 2 ud = a 2 cos 2 u.
x 2 - a 2 = a 2 sec 2 u - a 2 = a 2 ssec 2 u - 1d = a 2 tan 2 u.
a 2 x 2 asec a 2 x 2 acos x 2 a 2 atan
x
x
x 2 a 2
FIGURA 8.2 Triángulos de referencia para las tres sustituciones básicas,
identificando los lados etiquetados con x y a para cada sustitución.
Queremos que cualquier sustitución que utilicemos en una integración sea reversible,
de manera que podamos restituirla a su variable original. Por ejemplo, si x = a tan u, deseamos
poder hacer después de realizar la integración. Si x = a sen u, deseamos
poder hacer u = sen cuando hayamos terminado la integración, y de manera similar
para x = a sec u.
Como sabemos, de acuerdo con la sección 7.7, las funciones en estas sustituciones sólo
tienen inversa para ciertos valores de u (figura 8.3). Para que se pueda revertir,
-1 u = tan
sx>ad
-1 sx>ad
x = a tan u requiere u = tan -1 a x p
a b con -
2
x = a sen u requiere u = sen-1 a x p
a b con -
2
x = a sec u requiere u = sec-1 a x 0 … u 6
a b con d
p
2 si x a Ú 1,
p
2 6 u … p si x a … -1.
Para simplificar los cálculos con la sustitución x = a sec u, restringiremos su uso a
integrales en las que Esto colocará a u en y hará que Después
tendremos 2x sin valores absolutos, siempre
y cuando
2 - a2 = 2a2 tan2 x>a Ú 1.
[0, p>2d tan u Ú 0.
u = ƒ a tan u ƒ = a tan u,
EJEMPLO 1 Uso de la sustitución x = a tan u
Evaluar
dx
.
2 L 24 + x
6 u 6 p
2 ,
… u … p
2 ,