Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

92 Capítulo 2: Límites y continuidad
L 1
10
L
L 1
10
0
y
f(x)
f(x) está
aquí
para toda x x 0
aquí
x
x 0 x 0 x 0
FIGURA 2.13 ¿Cómo podemos definir
de manera que, tomando x en el
intervalo f(x) se
mantenga dentro del intervalo
aL - 1
d 7 0
sx0 - d, x0 + dd
1
, L + b ?
10 10
L
L
L
0
y
f(x)
f(x) está
aquí
para toda x x 0
aquí
x
x 0 x 0 x 0
FIGURA 2.14 La relación entre d y P en la
definición de límite.
x
x
En el ejemplo anterior determinamos qué tan cerca debe estar x de un valor particular
de x0 para asegurarnos de que los resultados f(x) de alguna función están dentro del intervalo
prescrito alrededor del valor límite L. Para comprobar que el límite de f(x) cuando
x : x0 en realidad es igual a L, debemos ser capaces de probar que la diferencia entre f(x)
y L puede hacerse menor que cualquier error prescrito, sin importar cuán pequeño sea éste,
tomando a x lo suficientemente cerca de x0. Definición de límite
Suponga que estamos viendo los valores de una función f(x) cuando x se aproxima a x 0
(sin tomar en cuenta el valor del mismo x 0). Ciertamente nos interesa poder decir que f(x)
permanece a una décima de unidad de L tan pronto como x está a una distancia d de x 0 (figura
2.13). Pero esto no es suficiente en sí mismo, ya que, a medida que x continúa su camino
hacia x 0 ¿qué impediría que f(x) oscilara en el intervalo de L – (1/10) a L + (1/10) sin
tender hacia L?
Se nos podría decir que el error no puede ser mayor que 1/100 o 1/1000 o 1/100,000.
Cada vez encontramos un nuevo intervalo d alrededor de x 0, de manera que manteniendo a
x dentro de ese intervalo se satisface el nuevo error de tolerancia. Y siempre existe la posibilidad
de que f(x) oscile alejándose de L en algún momento.
Las figuras de la siguiente página ilustran el problema. Podríamos comparar esta situación
con una discusión entre un escéptico y un académico. El escéptico presenta P-reto
para probar que el límite no existe, o más precisamente, que hay lugar a dudas; el académico
contesta a cada P reto con un d intervalo alrededor de x 0.
¿Cómo podemos acabar con esta serie de retos y respuestas aparentemente interminable?
Probando que para todo error de tolerancia P que pueda generar el escéptico, es posible
encontrar, calcular o conjeturar una distancia d correspondiente que mantenga a x “lo suficientemente
cerca” de x 0 para que f(x) esté dentro del rango de tolerancia de L (figura
2.14). Esto nos lleva a la definición formal de límite.
DEFINICIÓN Límite de una función
Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente el
mismo x0. Decimos que el límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 es el
número L, y escribimos
lím ƒsxd = L,
x:x0
si, para cada número P70, existe un número d > 0 correspondiente tal que, para
toda x,
0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6P.
Una manera de interpretar esta definición, consiste en suponer que estamos operando
un taladro de precisión y que deseamos hacer un orificio de diámetro L, pero como nada
es perfecto, debemos darnos por satisfechos con un diámetro f(x) entre los valores L – P y
L + P. La d es la medida de qué tan preciso debe ser nuestro control para garantizar este
grado de exactitud en el diámetro del orificio. Observe que, a medida que la tolerancia de
error se haga más estricta, tal vez tengamos que ajustar d. Esto es, el valor de d —que determina
qué tan estricto debe ser nuestro control—, depende del valor de P, que es la tolerancia
de error.