Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

476 Capítulo 7: Funciones trascendentes
7.2
Logaritmos naturales
Para cualquier número positivo a, el valor de la función f (x) = a x es fácil de definir cuando
x es un número entero o racional. Cuando x es irracional, el significado de a x no es tan claro.
De manera similar, la definición de log a x, la función inversa de f (x) = a x , no resulta
completamente obvia. En esta sección utilizaremos el cálculo integral para definir la
función logaritmo natural, para la que el número a es un valor muy importante. Esta función
nos permitirá definir y analizar funciones logarítmicas y exponenciales generales,
y = a x y y = log a x.
Originalmente, los logaritmos desempeñaban un papel importante en los cálculos aritméticos.
A lo largo de la historia se trabajó mucho en la creación de largas tablas de logaritmos,
con valores con una precisiòn de cinco, ocho y aún más lugares decimales. Antes
del surgimiento de las calculadoras electrónicas y las computadoras en la era moderna,
todo ingeniero contaba con una regla de cálculo marcada con escala logarítmica. Los
cálculos con logaritmos permitieron grandes avances en áreas como la navegación y la
mecánica celeste en el siglo XVII. Como sabemos, en la actualidad tales cálculos se realizan
con la ayuda de calculadoras o computadoras, pero las propiedades y las numerosas
aplicaciones de los logaritmos siguen siendo tan importantes como antes.
Definición de la función logaritmo natural
El primer paso de un método sólido para definir y entender los logaritmos, es el análisis de
la función logaritmo natural, definida como una integral, por medio del Teorema Fundamental
del Cálculo. Aunque este enfoque podría parecer indirecto, nos permitirá deducir
rápidamente las conocidas propiedades de las funciones logarítmica y exponencial. El
análisis de funciones que hemos realizado hasta el momento ha sido mediante técnicas de
cálculo, pero aquí haremos algo más fundamental: usaremos el cálculo para la definición
de las funciones logarítmica y exponencial.
El logaritmo natural de un número positivo x, denotado por ln x, es el valor de una integral.
DEFINICIÓN La función logaritmo natural
x
ln x =
L1
1 t
dt, x 7 0
Si x 7 1,
ln x es el área que está debajo de la curva y = 1>t,
de t = 1 a t = x (figura
7.9). Para 0 6 x 6 1, ln x proporciona el negativo del área bajo la curva, desde x hasta
1. La función no está definida para x … 0. Con base en la Regla del Intervalo de Ancho
Cero para integrales definidas, también tenemos
ln 1 =
L1
1
1 t
dt = 0.