Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

644 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración
⎛
⎝
0, 2
3
⎛ ⎝
2
1
–4 –2 2 4
–1
–2
–3
–4
y
y (x 1) ex 1
3
FIGURA 9.1 Gráfica de la solución
para la ecuación
diferencial con condición
inicial ys0d = (ejemplo 2).
2
y = sx + 1d -
dy>dx = y - x,
3
1
3 ex
x
es una solución del problema de primer orden con valor inicial
Solución La ecuación
es una ecuación diferencial de primer orden con
Del lado izquierdo:
Del lado derecho:
dy
dx
dy
dx
= d
dx
= y - x, ys0d = 2
3 .
y - x = sx + 1d - 1
3 ex - x = 1 - 1
3 ex .
La función satisface la condición inicial, ya que
ax + 1 - 1
3 ex b = 1 - 1
3 ex .
ys0d = csx + 1d - 1
3 ex d x = 0
La gráfica de la función se muestra en la figura 9.1.
ƒsx, yd = y - x.
= 1 - 1
3
= 2
3 .
Campos de pendientes: visualización de las curvas solución
dy
dx
= y - x
Cada vez que especificamos una condición inicial y(x0) = y0 para la solución de una ecuación
diferencial y¿ =ƒsx, yd, necesitamos que la curva solución (gráfica de la solución)
pase por el punto (x0, y0) y tenga pendiente ƒsx0, y0d en ese punto. Podemos representar
estas pendientes dibujando pequeños segmentos de recta de pendiente f (x, y) en puntos seleccionados
(x, y) de la región del plano xy que constituye el dominio de f. Cada segmento
tiene la misma pendiente que la curva solución que pasa por (x, y) y, por lo tanto, es tangente
a la curva en ese punto. El dibujo resultante se denomina campo de pendientes (o
campo de direcciones), y proporciona una visualización de la forma general de las curvas
solución. La figura 9.2a muestra un campo de pendientes, y un bosquejo de una solución
particular en la figura 9.2b. Vemos cómo estos segmentos de recta indican la dirección que
la curva solución toma en cada punto por donde pasa.
4
2
–4 –2 0 2 4
–2
–4
y y
4
2
x x
–4 –2 0 2 4
–2
–4
(a) (b)
FIGURA 9.2 (a) Campo de pendientes para (b) Curva
solución particular que pasa por el punto a0, (ejemplo 2).
2
3 b
dy
= y - x.
dx
⎛
⎝
3
⎛ ⎝0, 2