Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kelly Schmitzer
t (seg) s (m) t (seg) s (m) t (seg) s (m)
0 0 1.5 0.89 3.1 1.30
0.1 0.07 1.7 0.97 3.3 1.31
0.3 0.22 1.9 1.05 3.5 1.32
0.5 0.36 2.1 1.11 3.7 1.32
0.7 0.49 2.3 1.17 3.9 1.32
0.9 0.60 2.5 1.22 4.1 1.32
1.1 0.71 2.7 1.25 4.3 1.32
1.3 0.81 2.9 1.28 4.5 1.32
a. Determine una fórmula para la población de gorilas en términos
de t.
b. ¿Cuánto tiempo tardará la población de gorilas en llegar a la
capacidad de sustentación de la reserva?
7. Cría de atún del Pacífico La cría de atún del Pacífico se ha
modelado por medio de la ecuación logística
dy
dt
= rsM - ydy
donde y(t) es el peso de la población total de atún en kilogramos
en el instante t (medido en años), se estima que la capacidad de
sustentación es y por año.
a. Si ys0d = 1.6 * 10 ¿cuál es el peso total de la población
de atún al cabo de 1 año?
7 r = 0.08875 * 10
kg,
-7
M = 8 * 107 kg,
b. ¿En qué momento el peso total del criadero de atún llegará a
4 * 10 7 kg?
8. Modelo logístico modificado Suponga que la ecuación diferencial
logística del ejemplo 2 se modifica a
dP
= 0.001s100 - PdP - c
dt
para alguna constante c.
a. Explique el significado de la constate c. ¿Qué valores de c
podrían ser realistas para la población de osos pardos?
T b. Dibuje un campo de direcciones para la ecuación diferencial
cuando c = 1. ¿Cuáles son las soluciones de equilibrio (sección
9.4)?
c. Haga un bosquejo de varias curvas solución en el campo de
direcciones de la parte (a). Describa lo que le sucede a la población
de osos pardos para diferentes poblaciones iniciales.
9. Soluciones exactas Determine las soluciones exactas de los siguientes
problemas de valor inicial.
a. y¿ =1 + y, ys0d = 1
b. y¿ =0.5s400 - ydy, ys0d = 2
10. Ecuación diferencial logística Demuestre que la solución de la
ecuación diferencial
dP
= rsM - PdP
dt
9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 681
es
donde A es una constante arbitraria.
11. Solución catastrófica Sean k y P 0 constantes positivas.
a. Resuelva el problema de valor inicial
T
b. Demuestre que la gráfica de la solución del inciso (a) tiene
una asíntota vertical en un valor positivo de t. ¿Cuál es ese
valor de t?
12. Extinción de una población Considere el modelo poblacional
dP
dt
P =
donde r 7 0, M es la población máxima sustentable, y m es la
población mínima por debajo de la cual las especies se extinguen.
a. Sean m = 100, M = 1200, y suponga que m 6 P 6 M.
Demuestre que la ecuación diferencial puede reescribirse en
la forma
1
c
1200 - P +
y resuelva esta ecuación separable.
b. Determine la solución al inciso (a) que satisface Ps0d = 300.
c. Resuelva la ecuación diferencial con la restricción
m 6 P 6 M.
Trayectorias ortogonales
M
, -rMt
1 + Ae
dP
dt = kP2 , Ps0d = P0
= rsM - PdsP - md,
1 dP
d = 1100r
P - 100 dt
En los ejercicios 13 a 18, determine las trayectorias ortogonales de
la familia de curvas. Haga un bosquejo de varios miembros de cada
familia.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. Demuestre que las curvas y y son ortogonales.
20. Determine la familia de soluciones de la ecuación diferencial dada
y la familia de trayectorias ortogonales. Haga un bosquejo de
ambas familias.
a. x dx + y dy = 0 b. x dy - 2y dx = 0
21. Suponga que a y b son números positivos. Haga un bosquejo de
las parábolas
2 = x3 2x2 + 3y 2 y = e
= 5
kx
y = ce -x
2x2 + y 2 = c2 kx2 + y 2 y = cx
= 1
2
y = mx
y 2 = 4a 2 - 4ax y y 2 = 4b 2 + 4bx
en el mismo diagrama. Demuestre que se intersecan en Aa - b,
;22abB , y que cada “parábola a” es ortogonal a toda “parábola
b”.