Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

y a 2 x 2
–a 0
a
y
(a)
a
c.m.
–a 0
a
y
(b)
Un pequeño segmento
representativo del alambre
tiene dm ds ad.
d (x,
~~
y)
(a cos, a sen)
⎛ 2
⎝
0, a
FIGURA 6.39 El alambre semicircular
del ejemplo 6. (a) Las dimensiones y
variables utilizadas para determinar el
centro de masa. (b) El centro de masa no
está en el alambre.
⎛ ⎝
x
x
6.4 Momentos y centro de masa 433
Solución La distribución de masa sigue siendo simétrica respecto del eje y, por lo que
Con d = 2x 2 x = 0.
, las ecuaciones (7) y (8) se transforman en
Por lo tanto,
El nuevo centro de masa de la placa es
EJEMPLO 6 Alambre con densidad constante
Determinar el centro de masa de un alambre con densidad constante d, que tiene forma de
una semicircunferencia de radio a.
Solución Modelamos el alambre con la semicircunferencia y = 2a (figura
6.39). La distribución de masa es simétrica respecto del eje y, por lo que x = 0. Para determinar
y, imaginamos que dividimos el alambre en pequeños segmentos. El segmento
representativo (figura 6.39a) tiene
2 - x2 De donde,
El centro de masa está en el punto s0, 2a>pd, del eje de simetría, aproximadamente a dos
tercios del origen (figura 6.39b).
Centroides
Mx = L y ' dm = L
= L
2
-2
M = L dm = L
2
s16x 2 - 8x 4 + x 6 d dx = 2048
105
= s8x
L-2
2 - 2x4d dx = 256
15 .
y = Mx
M
= 2048
105 # 15
256
sx, yd = a0, 8
b .
7
distancia del c.m. al eje x: y ' largo: ds = a du
Masa por unidad
de longitud por
masa: dm = d ds = da du
longitud
= a sen u.
y = 1 y' dm 1p 0
=
1dm a sen u # da du
2
-2
2
-2
d
2 s4 - x2d2 dx =
L
ds4 - x2d dx = 2x
L-2
2s4 - x2d dx
1 p
0 da du
= 8
7 .
= da2 p
C -cos uD 0
dap
= 2 p a.
Cuando la función de densidad es constante, se elimina del numerador y denominador en
las fórmulas para x y y. Esto ocurrió en casi todos los ejemplos de esta sección. En lo que
concierne a x y y,
d bien podría haber sido 1. Así, cuando la densidad es constante, la ubicación
del centro de masa es una característica de la geometría del objeto y no del material
del cual está fabricado. En tales casos, los ingenieros podrían llamar al centro de masa, el
centroide de la forma. Por ejemplo, si se le diera la instrucción: “Determine el centroide de
un triángulo o de un cono sólido”, sólo tendría que establecer d igual a 1 y proceder a la
determinación de x y y como se hizo antes, dividiendo momentos entre masas.
2
2
-2
x 2 s4 - x 2 d 2 dx
(7’)
(8’)