Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

–2
–1
(–2, –32)
7
–32
y
(1, 7)
y 8t t 4
FIGURA 4.7 Los valores extremos de
gstd = 8t - t en [-2, 1] (ejemplo 3).
4
1
t
4.1 Valores extremos de una ecuación 249
una lista de estos puntos y calcular los valores correspondientes de la función para encontrar
cuáles son los valores más grandes y más pequeños, y en dónde están localizados.
Cómo encontrar los extremos absolutos de una función continua f en un
intervalo cerrado finito
1. Evaluar f en todos los puntos críticos y en los puntos extremos del intervalo.
2. Tomar el mayor y el menor de estos valores.
EJEMPLO 2 Determinación de extremos absolutos
Encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de ƒsxd = x en [-2, 1].
2
Solución La función es diferenciable sobre todo su dominio, de manera que el único
punto crítico es donde ƒ¿sxd = 2x = 0, a saber, x = 0. Necesitamos verificar los valores
de la función en x = 0 y en los puntos extremos del intervalo, x = -2y
x = 1:
Valor en el punto crítico:
ƒs0d = 0
Valores en los puntos extremos del intervalo: ƒs -2d = 4
ƒs1d = 1
La función tiene un valor máximo absoluto igual a 4 en x = -2 y un valor mínimo absoluto
igual a 0 en x = 0.
EJEMPLO 3 Extremos absolutos en los puntos extremos del intervalo
Encontrar los valores extremos absolutos de gstd = 8t - t en [-2, 1].
4
Solución La función es diferenciable sobre todo su dominio, de manera que el único
punto crítico ocurre donde g¿std = 0. Resolviendo esta ecuación, obtenemos
8 - 4t 3 = 0 o t = 2 3 2 7 1,
un punto que no está en el dominio dado. Así, los extremos absolutos de la función se alcanzan
en los extremos del intervalo, gs -2d = -32 (máximo absoluto) y gs1d = 7 (mínimo
absoluto). Vea la figura 4.7.
EJEMPLO 4 Extremos absolutos en un intervalo cerrado
Encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de ƒsxd = x en el intervalo [-2, 3].
2>3
Solución Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo, y
tomamos el máximo y el mínimo de los valores resultantes.
La primera derivada
ƒ¿sxd =
La primera derivada x = 0. Los valores de f en este punto crítico y en los extremos del intervalo
son
2
3 x -1>3 2
=
32 3 x
Valor del punto crítico:
Valores en los puntos extremos del intervalo:
ƒs3d = s3d2>3 = 2 3 ƒs -2d = s -2d
9.
2>3 = 2 3 ƒs0d = 0
4