Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

74 Capítulo 2: Límites y continuidad
BIOGRAFÍA HISTÓRICA*
Galileo Galilei
(1564-1642)
Si y denota la distancia recorrida en pies después de t segundos, de acuerdo con la ley de
Galileo
y = 16t 2 ,
donde 16 es la constante de proporcionalidad.
La velocidad promedio de la piedra durante un intervalo de tiempo dado, es igual al
cambio en la distancia, dividido entre el intervalo de tiempo,
¢y
(a) Para los primeros 2 segundos:
¢t = 16s2d2 - 16s0d2 = 32
2 - 0
pies
¢y,
¢t.
seg
(b) Del segundo 1 al segundo 2:
¢y
¢t = 16s2d2 - 16s1d2 2 - 1
En el ejemplo siguiente se examina qué pasa cuando se busca la velocidad promedio de un
objeto que cae, en intervalos de tiempo cada vez más cortos.
EJEMPLO 2 Determinación de la velocidad instantánea
Encontrar la velocidad de la piedra que cae en t = 1 y t = 2 seg.
= 48 pies
seg
Solución Podemos calcular la velocidad promedio de la piedra en el intervalo de tiempo
[t0, t0 + h], cuya longitud como
¢y
(1)
¢t
No es posible usar esta fórmula para calcular la velocidad “instantánea” en t0 sustituyendo
h = 0, ya que la división por cero no está definida. Sin embargo, sí podemos emplearla
para calcular la velocidad promedio en lapsos cada vez más cortos, empezando en t0 = 1 y
t0 = 2. Cuando lo hacemos así, vemos un patrón (tabla 2.1).
= 16st0 + hd2 - 16t0 2
¢t = h,
.
h
TABLA 2.1 Velocidad promedio en intervalos de tiempo pequeños
Velocidad promedio: ¢y
¢t = 16st0 + hd2 - 16t0 2
h
Longitud del Velocidad promedio Velocidad promedio
intervalo en intervalo de longitud en intervalo de longitud
de tiempo h h empezando en t 0 = 1 h empezando en t 0 = 2
1 48 80
0.1 33.6 65.6
0.01 32.16 64.16
0.001 32.016 64.016
0.0001 32.0016 64.0016
La velocidad promedio a medida que disminuye la longitud del intervalo que empieza
en t 0 = 1, aparentemente se aproxima a un valor límite igual a 32 a medida que disminuye
la longitud del intervalo. Esto sugiere que la piedra está cayendo a una velocidad de 32
pies/seg en t 0 = 1 seg. Confirmemos esto algebraicamente.
*Para aprender más acerca de estos personajes históricos y sobre el desarrollo de los principales temas y
elementos relacionados con el cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas.