Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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154 Capítulo 3: Derivadas 3. que la gráfica tenga una tangente vertical en P, dando lugar a que la pendiente de PQ se tienda a q por ambos lados, o a –q por ambos lados (en la figura se ilustra que tiende a –q). 4. que la gráfica presente una discontinuidad. Q P Q Las funciones diferenciables son continuas Una función es continua en todos los puntos donde tiene derivada. TEOREMA 1 Diferenciabilidad implica continuidad Si f tiene derivada en x = c, entonces f es continua en x = c. Q Demostración Dado que f ¿(c) existe, debemos probar que límx:c ƒsxd = ƒscd, o, de manera equivalente, que límh:0 ƒsc + hd = ƒscd. Si h Z 0, entonces = ƒscd + P Q Q ƒsc + hd = ƒscd + sƒsc + hd - ƒscdd P ƒsc + hd - ƒscd h # h. Q
1 0 y y U(x) FIGURA 3.7 La función escalonada unitaria no tiene la propiedad del valor intermedio y no puede ser la derivada de una función en la recta real. EJERCICIOS 3.1 Funciones derivadas y sus valores x Calcule las derivadas de las funciones de los ejercicios 1 a 6 utilizando la definición. Después, determine los valores de las derivadas que se especifican. 1. 2. Fsxd = sx - 1d2 ƒsxd = 4 - x + 1; F¿s -1d, F¿s0d, F¿s2d 2 ; ƒ¿s -3d, ƒ¿s0d, ƒ¿s1d 3. gstd = 1 ; g¿s -1d, g¿s2d, g¿ 2 A 23B t Ahora tomamos límites cuando h : 0. De acuerdo con el teorema 1 de la sección 2.2, ƒsc + hd - ƒscd lím ƒsc + hd = lím ƒscd + lím # lím h h:0 h:0 h:0 h h:0 = ƒscd + ƒ¿scd # 0 = ƒscd + 0 = ƒscd. La aplicación de argumentos semejantes a los límites laterales, demuestra que si f tiene derivada lateral (por la derecha o por la izquierda) en x = c, entonces f es continua por ese lado en x = c. El teorema 1, definido en la página anterior, afirma que si una función tiene una discontinuidad en un punto (por ejemplo, una discontinuidad de salto), no puede ser diferenciable en dicho punto. La función mayor entero y = :x; = ent x no es diferenciable en cada entero x = n (ejemplo 4, sección 2.6). PRECAUCIÓN El recíproco del teorema 1 es falso. No es necesario que una función tenga derivada en un punto donde es continua, como vimos en el ejemplo 5. La propiedad del valor intermedio para derivadas 3.1 La derivada como una función 155 Como se deduce del teorema siguiente, no cualquier función puede ser la derivada de alguna función. TEOREMA 2 Si a y b son dos puntos cualesquiera en un intervalo donde f es diferenciable, entonces f ¿ toma todos los valores entre f ¿(a) y f ¿(b). El teorema 2 (que no probaremos), afirma que una función no puede ser una derivada en un intervalo, a menos que satisfaga la propiedad del valor intermedio en dicho intervalo. Por ejemplo, la función escalonada unitaria de la figura 3.7 no puede ser la derivada de ninguna función de variable real en la recta real. En el capítulo 5 veremos que toda función continua es la derivada de alguna función. En la sección 4.4 utilizaremos el teorema 2 para analizar qué pasa en un punto de la gráfica de una función doblemente diferenciable donde cambia su “curvatura”. 4. 5. 6. kszd = 1 - z ; k¿s -1d, k¿s1d, k¿ A 22B 2z psud = 23u ; p¿s1d, p¿s3d, p¿s2>3d rssd = 22s + 1 ; r¿s0d, r¿s1d, r¿s1>2d En los ejercicios 7 a 12, determine las derivadas indicadas. 7. 8. dr dy si y = 2x3 dx ds si r = s3 2 + 1
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THOMAS CÁLCULO UNA VARIABLE UNDÉC
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CÁLCULO UNA VARIABLE U N D É C I
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CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 P
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PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS
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13 Funciones con valores vectoriale
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PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar
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FIGURA 6.11, página 402 Determinac
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Agradecimientos COURSECOMPASS Cours
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Agradecemos a todos los profesores
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1.1 Capítulo 1 PRELIMINARES INTROD
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Las expansiones decimales finitas r
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-5 5 3 -5 0 3 4 1 1 4 3 1 4 FI
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1 2 (a) 1 2 (b) FIGURA 1.4 Los conj
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1.2 Eje y positivo Eje x negativo E
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y L 2 Pendiente m1 1 C 1 h L 1 Pend
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Incrementos y movimiento 37. Una pa
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96. La distancia entre un punto y u
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x -2 4 -1 1 0 0 1 1 3 2 y x 2 9 4
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ƒsxd = x + 1 Modelos matemáticos
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1.5 Combinación de funciones; tras
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1.5 Combinación de funciones; tras
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5 4 3 2 1 y dilatar comprimir y 3x
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EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, produ
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En los ejercicios 19-28 se establec
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2 Grados Radianes 45 45 90 1 30 1 2
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SE sen pos. TA tan pos. y TO todos
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Periodos de las funciones trigonom
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Transformaciones de las gráficas t
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1.7 Graficación con calculadoras y
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-12 podría producir un segmento de
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TABLA 1.5 Precio de una estampilla
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Biomasa 250 200 150 100 50 y 0 1 2
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T T T c. Superponga la gráfica de
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Capítulo 1 Ejercicios adicionales
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2.1 Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUI
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Desde el punto de vista geométrico
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x 0 (a) Función identidad k 0 y y
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Es fácil convencernos de que las p
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k k k y 0 x0 x0 x0 y k FIG
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¿A qué se debe que sea correcto s
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Page 153 and 154: O P FIGURA 2.63 L es tangente al c
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Obser vador Globo d 0.14 rad/min d
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dy ? dt cuando y 6 pies dV dt 9
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Automóvil Cámara 132' 33. Una cap
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Capítulo 3 Preguntas de repaso 1.
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c. ¿Cómo se relaciona dS>dt con d
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. Encuentre los valores para b y c
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26. Regla de Leibniz para derivadas
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Mínimo absoluto No hay un valor me
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(c) Una solución intermedia 12 mil
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y y x2 C C 2 2 1 0 -1 -2 C 1 C
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. Use el teorema de Rolle para prob
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y c(x) x 3 6x 2 15x r(x) 9x 0 2
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T b. Grafique el volumen de una caj
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38. Dos masas cuelgan de igual núm
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Teoría y ejemplos 53. Una desigual
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Precaución Para aplicar la regla d
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4.6 Formas indeterminadas y la regl
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Tanque lleno, parte superior h y 0
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6 4 2 0 y f(x) 3x 1 2 3 FIGURA 5.6
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cambiaría, así como el signo del
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5.5 Las integrales indefinidas y la
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La regla de sustitución proporcion
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Regla de Leibniz En las aplicacione
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Capítulo 5 Proyectos de aplicació
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0 y a S x k1 xk FIGURA 6.3 Una plac
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y 0 45° x -3 29 x 2 x 3 x ⎛ ⎝
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1 0 y 6.1 Cálculo de volúmenes po
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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6.2 Cálculo de volúmenes por medi
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0 y A P 0 P 1 P k-1 C B P n FIGUR
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1 0 y ⎛x y ⎝2 2/3 , 0 x 2
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T EJERCICIOS 6.3 Longitudes de curv
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(a) 6.4 Momentos y centro de masa 4
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Densidad La densidad de la materia
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Cómo determinar el centro de masa
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y a 2 x 2 -a 0 a y (a) a c.m. -a
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punto que está a un tercio de la d
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1 8 0 - 1 8 y y x 3 NO ESTÁ A ESC
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d y c 0 y L(y) FIGURA 6.54 La regi
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Determinación de áreas de superfi
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c. Demuestre que el área de la sup
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Fuerza (lb) F 0 Sin comprimir 4 F x
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389 pies Cuarto de circunferencia d
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9. Ascensión del cable de un eleva
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y a y Superficie del fluido Placa v
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7.1 Funciones inversas y sus deriva
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El proceso de pasar de f a f -1 pue
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y y f(x) b f(a) (a, b) 0 a x 7.1
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EJERCICIOS 7.1 Identificación grá
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Teoría y aplicaciones 45. Si f(x)
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TABLA 7.1 Valores comunes de ln x,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA John Napier (
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1 y 1 2 0 y 1 x 1 2 FIGURA 7.10 El
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EJEMPLO 5 L0 p>6 tan 2x dx = L0 Dif
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Diferenciación logarítmica En los
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Números trascendentes y funciones
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7.3 La función exponencial 489 El
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Utilizamos la condición inicial y(
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EJERCICIOS 7.3 7.3 La función expo
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. Demuestre, haciendo referencia a
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y 2 1 0 1 2 y 2 x y x y log 2x F
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Casi todos los alimentos son ácido
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1 49. 50. 5 L -u 2 du L0 -u du 22 5
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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Para el gas radón 222, t se mide e
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7.5 Crecimiento y decaimiento expon
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a. Si t representa el tiempo, en a
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22. Una viga a temperatura desconoc
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(c) x 2 crece más rápido que ln x
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EJERCICIOS 7.6 1. ¿Cuáles de las
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Algoritmos y búsquedas 23. a. Supo
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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x 23>2 22>2 12 > -1>2 - 22>2 - 23>2
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x 23 1 23>3 - 23>3 -1 - 23 3 5 2 t
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7.7 Funciones trigonométricas inve
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EJEMPLO 9 Uso de la fórmula d dx s
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(b) (c) EJEMPLO 12 Uso de la sustit
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Valores de funciones trigonométric
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126. La región que está entre la
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7.8 Funciones hiperbólicas 7.8 Fun
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7.8 Funciones hiperbólicas 537 Las
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TABLA 7.9 Identidades para las func
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7.8 Funciones hiperbólicas 541 Sol
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11. Utilice las identidades senh sx
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1 a y 0 b s 81. Volumen Una región
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5. ¿Qué es la función logaritmo
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99. ¿Verdadero o falso? Justifique
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17. Utilice la figura siguiente par
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8.1 Capítulo 8 TÉCNICAS DE INTEGR
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Solución EJEMPLO 2 Completar el cu
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA George David
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dx dx 7. 8. L 1x s 1x + 1d L x - 1x
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8.2 Integración por partes Como y
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tenemos cuatro posibles opciones: 1
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1 0.5 -1 0 -0.5 -1 y y xe -x 1 2 3
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Los ejercicios adicionales, al fina
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Sustitución e integración por par
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8.3 Integración de funciones racio
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Hay varias formas de resolver el si
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Sustituimos estos valores en la ecu
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EJEMPLO 7 Integración con el méto
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EJERCICIOS 8.3 8.3 Integración de
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c. Grafique la función y = para 0
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Para el término que incluye a cos
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EJERCICIOS 8.4 y Productos de senos
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x tan a -1 -1 -1 2 - 2 2 - 2
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5x 25x 2 4 2 FIGURA 8.6 Si entonc
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EJERCICIOS 8.5 Sustituciones trigon
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8.6 8.6 Tablas de integrales y sist
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Solución Utilizamos la fórmula 99
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Con n = 3 y a = 1, tenemos El resul
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También se puede hallar la integra
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Sustitución y tablas de integrales
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111. a. Utilice un software matemá
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y y x 2 1 0 1 25 16 5 4 36 16 6 4
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2 1 y y x sen x 0 1 2 FIGURA 8.12
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Thomas Simpso
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gular no podemos determinar el valo
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146 pies 122 pies 76 pies 54 pies 4
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28. Abastecimiento de un estanque d
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Utilice las funciones Trace o Zoom
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Área de una superficie Determine,
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Lejeune Diric
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1 0 y a y 1 x Área 2 2a 1 FIGUR
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Solución L2 q x + 3 sx - 1dsx 2 dx
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1 y y e -x2 (1, e -1 ) 0 1 b y e
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1 0 y y 1 1 x 2 1 y 1 x 2 FIGURA
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EJERCICIOS 8.8 Evaluación de integ
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T a. Dibuje la gráfica de f. Deter
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43. 44. L sen3 u cos2 u sen3 du u d
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Integrales impropias Evalúe las in
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T 24. Determinación de un volumen
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o ≠sxd L a x e b x 2p A x e 1>s12
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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9.1 Campos de pendientes y ecuacion
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FIGURA 9.4 La razón a la que sale
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-4 -4 -4 19. y¿ =x + y 20. y¿ =y
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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9.2 Ecuaciones diferenciales lineal
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i I V R I e 0 L R L 2 R i (1 eRt
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EJERCICIOS 9.2 Ecuaciones lineales
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31. Constantes de tiempo Al número
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Después se calculan las aproximaci
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BIOGRAFÍA HISTÓRICA Carl Runge (1
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Exploración gráfica de ecuaciones
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2 y 1 2 0 -1 y' 0 y'' 0 y' 0 y''
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F r ky m F p mg y positiva y 0 F
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EJERCICIOS 9.4 Líneas de fase y cu
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9.5 9.5 Aplicaciones de ecuaciones
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6000 5000 P Población mundial (198
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M 100 50 0 P FIGURA 9.25 Un campo
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Trayectoria ortogonal FIGURA 9.28 U
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TABLA 9.8 Datos del patinaje de Kel
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T 34. Euler: En los ejercicios 35 y
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RESPUESTAS CAPÍTULO 1 Sección 1.1
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7. (a) No es una función de x, ya
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9. (a) ƒ(g(x)) (b) j(g(x)) (c) g(g
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7. cos x = -4>5, tan x = -3>4 9. 11
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37. 39. 41. (a) (b) m = 1059.14; é
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11. (a) ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d x
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35. 37. 4 y = x = x + 1 - 2 - 4 3 x
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Ejercicios adicionales y avanzados,
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(c) El cuerpo cambia de dirección
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55. (a) y = 2px - 2p, (b) 57. Punto
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121. 123. dS = prh0 2r 125. (a) 4%
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La función ƒsxd = x tiene un punt
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17. y 19. 21. y 23. Máx loc (0, 0)
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91. (b) de manera positiva si k 6 0
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87. y = 2x 89. 3>2 - 50 91. 93. (a)
Page 733 and 734:
7. Todas ellas 9. b 11. 13. a k = 1
Page 735 and 736:
Ejercicios prácticos, páginas 388
Page 737 and 738:
Ejercicios de práctica, páginas 4
Page 739 and 740:
13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.
Page 741 and 742:
Capítulo 8: Respuestas R-39 ƒ ƒ
Page 743 and 744:
Capítulo 8: Respuestas R-41 17. 19
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71. 1 2 Az2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2
Page 747 and 748:
3. 5. (b) (c) y¿ =y 3 - y = s y +
Page 749:
Ejercicios prácticos, páginas 682
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I-2 Índice Calculadoras, graficaci
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I-4 Índice Desplazamiento, 172, 17
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I-6 Índice implícitamente, 205-20
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I-8 Índice Leyes de los exponentes
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I-10 Índice Problema de primer ord
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I-12 Índice en integrales múltipl
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Fórmulas para Grad, Div, Espiral y
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Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

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