Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

2 Capítulo 1: Preliminares
En el apéndice 4 se dan las propiedades de orden de los números reales. A partir de
ellas pueden obtenerse las siguientes reglas útiles, donde el símbolo Q significa “implica”.
Reglas para desigualdades
Si a, b y c son números reales, entonces:
1.
2.
3.
4.
Caso especial:
5.
6. Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces
a 6 b Q 1
b 6 1 a 7 0 Q
a
1 a 6 b Q a + c 6 b + c
a 6 b Q a - c 6 b - c
a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc
a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac
a 6 b Q -b 6 -a
a 7 0
Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un número. Al multiplicar
por un número positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por un
número negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recíprocos invierte
el sentido de desigualdad cuando los números son del mismo signo. Por ejemplo, 2 6 5
pero -2 7 -5y
1>2 7 1>5.
En el caso del sistema de números reales, la propiedad de completez* es compleja y
difícil de definir con precisión; sin embargo, es esencial para comprender el concepto de
límite (capítulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficientes
números reales para “completar” la recta real, en el sentido que no haya “vacíos” o “faltantes”
o huecos en ella. Si el sistema de números reales no cumpliera con esta propiedad,
muchos teoremas de cálculo carecerían de validez. Por conveniencia, el tema se deja para
un curso más avanzado, pero el apéndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cómo se
construyen los números reales.
Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales.
1. Los números naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . .
2. Los números enteros, como
3. Los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como una fracción
m/n, donde m y n son enteros y n Z 0. Por ejemplo
1 4 -4 4 200
57
, - = = , , y 57 =
3 9 9 -9 13 1
Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones decimales,
que son
(a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo
.
3
= 0.75000 Á = 0.75 o
4
(b) periódicas (terminan con un bloque de dígitos que se repite una y otra vez), por ejemplo,
23
11
0, ;1, ;2, ;3, Á
= 2.090909 Á = 2.09
La barra indica el
bloque de dígitos
que se repite.
* A este término también se le conoce como propiedad de densidad o de completitud.