Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

8.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 571
que puede verificarse de manera algebraica colocando las fracciones del lado derecho con
un denominador común, (x + 1) (x – 3). La habilidad adquirida para escribir funciones racionales
como tal suma también es útil en otros contextos, por ejemplo cuando se utilizan
ciertos métodos de transformación para resolver ecuaciones diferenciales. Para integrar la
función racional (5x - 3)>(x + 1) (x - 3) en el lado izquierdo de nuestra expresión, simplemente
sumamos las integrales de las fracciones del lado derecho:
L
5x - 3
sx + 1dsx - 3d dx = L
El método para reescribir funciones racionales como una suma de fracciones más sencillas
se denomina método de las fracciones parciales. En el caso del ejemplo anterior,
consiste en determinar las constantes A y B tales que
5x - 3
x 2 - 2x - 3 =
(Suponga por un momento, que no sabe si A = 2 y B = 3 funcionarán). A las fracciones
y les llamamos fracciones parciales, ya que sus denominadores sólo
son parte del denominador original, x 2 A>sx + 1d B>sx - 3d
– 2x – 3. Decimos que A y B son coeficientes
indeterminados hasta que encontremos valores adecuados para ellos.
Para determinar A y B, primero eliminamos las fracciones de la ecuación (1), obteniendo
5x - 3 = Asx - 3d + Bsx + 1d = sA + Bdx - 3A + B.
Esto será una identidad en x, si y sólo si los coeficientes de potencias iguales de x en los
dos lados son iguales:
Al resolver este sistema de ecuaciones, se obtiene A = 2 y B = 3.
Descripción general del método
2
x + 1 dx + L
= 2 ln ƒ x + 1 ƒ + 3 ln ƒ x - 3 ƒ + C.
A
x + 1 +
B
x - 3 .
A + B = 5, -3A + B = -3.
3
x - 3 dx
El éxito al escribir una función racional f (x) > g(x) como una suma de fracciones parciales
depende de dos cosas:
• El grado de f (x) debe ser menor que el grado de g(x). Esto es, la fracción debe ser propia.
Si no es así, divida f (x) entre g(x) y trabaje con el residuo. Vea el ejemplo 3 de esta
sección.
• Debemos conocer los factores de g(x). En teoría, cualquier polinomio con coeficientes
reales puede escribirse como un producto de factores lineales con coeficientes reales y
factores cuadráticos con coeficientes reales. En la práctica, puede ser difícil obtener estos
factores.
A continuación veremos cómo determinar las fracciones parciales de una fracción propia
f (x)/g(x) cuando se conocen los factores de g(x).
(1)