Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

Después se calculan las aproximaciones a la solución,
9.3 Método de Euler 661
El número de pasos, n, puede ser tan grande como se quiera, pero los errores pueden
acumularse si n es demasiado grande.
El método de Euler es fácil de implementar en una computadora o en una calculadora.
Un programa de computadora genera una tabla de soluciones numéricas para un problema
de valor inicial, permitiéndonos introducir x0 y y0, el número de pasos n y el tamaño del
paso, dx. Después calcula los valores aproximados de la solución de manera
iterativa, como se acaba de describir.
Al resolver la ecuación separable del ejemplo 1, encontramos que la solución exacta
al problema de valor inicial es y = 2e Utilicemos esta información en el ejemplo 2.
x y1, y2, Á , yn
- 1.
EJEMPLO 2 Investigación de la precisión del método de Euler
Utilizar el método de Euler para resolver
y1 = y0 + ƒsx0, y0d dx
y2 = y1 + ƒsx1, y1d dx
o
yn = yn - 1 + ƒsxn - 1, yn - 1d dx.
y¿ =1 + y, ys0d = 1,
en el intervalo iniciando en x0 = 0 y tomando
(a)
(b)
Compare las aproximaciones con los valores de la solución exacta y = 2ex 0 … x … 1,
dx = 0.1
dx = 0.05.
- 1.
Solución
(a) Usamos una computadora para generar los valores aproximados de la tabla 9.1. La columna
“Error” se obtuvo restando lo valores de Euler de los valores obtenidos con
la solución exacta, ambos sin redondear. Después todas las entradas se redondearon a
cuatro decimales.
TABLA 9.1 Solución de Euler para y¿ =1 + y,
ys0d = 1, tamaño del paso dx = 0.1
x y (Euler) y (exacta) Error
0 1 1 0
0.1 1.2 1.2103 0.0103
0.2 1.42 1.4428 0.0228
0.3 1.662 1.6997 0.0377
0.4 1.9282 1.9836 0.0554
0.5 2.2210 2.2974 0.0764
0.6 2.5431 2.6442 0.1011
0.7 2.8974 3.0275 0.1301
0.8 3.2872 3.4511 0.1639
0.9 3.7159 3.9192 0.2033
1.0 4.1875 4.4366 0.2491