Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

204 Capítulo 3: Derivadas
99. Caída de un meteorito La velocidad de un meteorito pesado
que entra en la atmósfera terrestre es inversamente proporcional
a cuando está a s kilómetros del centro de la Tierra. Muestre
que la aceleración del meteorito es inversamente proporcional a s 2 1s
.
100. Aceleración de una partícula Una partícula se mueve a lo
largo del eje x con velocidad dxNdt = f(x). Muestre que la aceleración
de la partícula es ƒsxdƒ¿sxd.
101. La temperatura y el periodo de un péndulo En el caso de
oscilaciones de amplitud pequeña (balanceos cortos), podemos
modelar sin problema la relación entre el periodo T y la longitud
L de un péndulo simple con la ecuación
donde g es la aceleración constante de la gravedad en el lugar donde
está el péndulo. Si medimos g en centímetros por segundo al
cuadrado, mediremos L en centímetros y T en segundos. Si el
péndulo es metálico, su longitud variará con la temperatura, aumentando
o disminuyendo a una razón aproximadamente proporcional
a L. En símbolos, si u es la temperatura y k la constante
de proporcionalidad,
Suponiendo que éste es el caso, muestre que la razón a la que
cambia el periodo del péndulo respecto a la temperatura es kT>2.
102. Regla de la cadena Suponga que ƒsxd = x y gsxd = ƒ x ƒ. Entonces,
ambas composiciones
2
sƒ gdsxd = ƒ x ƒ 2 = x 2 y sg ƒdsxd = ƒ x 2 ƒ = x 2
son diferenciables en x = 0 aun cuando g no sea diferenciable en
x = 0. ¿Esto contradice la regla de la cadena? Explique.
103. Tangentes Suponga que u = g(x) es diferenciable en x = 1, y
que y = f(u) es diferenciable en u = g(1). Si la gráfica de
y = f(g(x)) tiene una tangente horizontal en x = 1, ¿podemos
concluir algo sobre la tangente a la gráfica de g en x = 1 o sobre
la tangente a la gráfica de f en u = g(1)? Justifique su respuesta.
104. Suponga que u = g(x) es diferenciable en x = –5, y = f(u) es diferenciable
en u = g(–5) y sƒ gd¿s -5d es negativa. ¿Puede decirse
algo sobre de los valores de g¿s -5d y ƒ¿sgs -5dd?
y =
L
T = 2p
A g ,
dL
du
= kL.
T 105. La derivada de sen 2x Grafique la función y = 2 cos 2x para
-2 … x … 3.5. Después, grafique en la misma pantalla
T
sen 2sx + hd - sen 2x
h
para h = 1.0, 0.5, Experimente con otros valores de h, incluyendo
valores negativos. ¿Qué pasa cuando h : 0? Explique este
comportamiento.
-2 … x
… 3. Después, grafique en la misma pantalla
106. La derivada de cos(x 2 ) Grafique y = –2x sen(x 2 ) para
y = cos ssx + hd2 d - cos sx 2 d
h
T
para h = 1.0, 0.7 y 0.3. Experimente con otros valores de h.
¿Qué pasa cuando h : 0? Explique este comportamiento.
Las curvas en los ejercicios 107 y 108 se llaman curvas de Bowditch o
figuras de Lissajous. En cada caso, encuentre el punto en el interior
del primer cuadrante, donde la tangente de la curva es horizontal y determine
las ecuaciones de las dos tangentes en el origen.
107. y
x sen t
y sen 2t
108.
1
Use la regla de la cadena para demostrar que la regla de potencias
se cumple para las funciones x n sd>dxdx en los ejercicios
109 y 110.
n n - 1
= nx
109. 110. x 3>4 x = 2x1x
1>4 = 21x
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
Polinomios trigonométricos
1
x
111. Como muestra la figura 3.34, el “polinomio” trigonométrico
s = ƒstd = 0.78540 - 0.63662 cos 2t - 0.07074 cos 6t
-0.02546 cos 10t - 0.01299 cos 14t
da una buena aproximación de la función serrucho s = g(t) en el
intervalo [-p, p]. ¿Qué tan bien aproxima la derivada de f a la
derivada de g en los puntos donde dg>dt está definida? Para encontrarlo,
lleve a cabo los pasos siguientes.
a. Grafique dg>dt (donde esté definida) en [-p, p].
b. Encuentre dƒ>dt.
c. Grafique dƒ>dt.
¿En dónde la aproximación de dg>dt por
dƒ>dt parece ser mejor? ¿En dónde parece menos buena?
Las aproximaciones mediante polinomios trigonométricos
son importantes en las teorías del calor y de oscilacion pero,
como veremos en el ejercicio siguiente, no debemos esperar
mucho de ellas.
2
s
1
1
1
y
x sen 2t
y sen 3t
1
s g(t)
s f(t)
0
FIGURA 3.34 La aproximación de la
función serrucho por un “polinomio”
trigonométrico (ejercicio 111).
t
x