Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

0
y
h
y f(x)
Q(x 0 h, f(x 0 h))
P(x 0 , f(x 0 ))
x 0
x 0 h
f(x 0 h) f(x 0 )
FIGURA 2.67 Encontrar la pendiente
de la recta tangente en P es
lím
h:0 ƒsx0 + hd - ƒsx0d
.
h
x
2.7 Tangentes y derivadas 137
DEFINICIONES Pendiente, recta tangente
La pendiente de la curva y = f(x) en el punto P(x 0, f(x 0)) es el número
m = lím
(siempre y cuando el límite exista).
h:0
La recta tangente a la curva en P es la recta que pasa por P con esta pendiente.
ƒsx0 + hd - ƒsx0d
h
Siempre que damos una definición nueva, la comprobamos mediante situaciones familiares
para asegurarnos de que es consistente con los resultados esperados en esos casos.
El ejemplo 2 muestra que la nueva definición de pendiente coincide con la que se dio del
mismo concepto en la sección 1.2, cuando lo aplicamos a rectas no verticales.
EJEMPLO 2 Comprobación de la definición
Demostrar que la recta y = mx + b es su propia tangente en cualquier punto (x0, mx0 + b).
Solución Hacemos f(x) = mx + b, y organizamos el trabajo en tres pasos.
1. Encontrar f(x0) y f(x0 + h)
2. Encontrar la pendiente
ƒsx0d = mx0 + b
lím
h:0 ƒsx0 + hd - ƒsx0d
h
= lím
h:0
3. Encontrar la recta tangente usando la ecuación punto-pendiente. La recta tangente en
el punto (x0, mx0 + b) es
mh
h
= m
Resumamos los pasos del ejemplo 2.
ƒsx0 + hd = msx0 + hd + b = mx0 + mh + b
lím
h:0 sƒsx0 + hd - ƒsx0dd>h.
y = smx0 + bd + msx - x0d
y = mx0 + b + mx - mx0
y = mx + b.
= lím
h:0 smx0 + mh + bd - smx0 + bd
h
Determinación de la tangente a la curva y ƒsxd en sx0, y0d
1. Calcular f(x 0) y f (x 0 + h).
2. Calcular la pendiente
m = lím
h:0 ƒsx0 + hd - ƒsx0d
.
h
3. Si el límite existe, encontrar la recta tangente como
y = y0 + msx - x0d.