Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

58. Tanque auxiliar de gasolina Con el propósito de ampliar el alcance
de un helicóptero, usted tiene que diseñar un tanque auxiliar
de gasolina que deberá caber en la parte inferior del fuselaje.
Después de experimentar un poco en su mesa de dibujo, decide
que la forma del tanque será parecida a la de la superficie generada
al hacer girar la curva y = 1 - sx alrededor
del eje c (las medidas están en pies).
2 >16d, -4 … x … 4,
6.2
–2 –1 0
Eje de
rotación
x –1
2
1
–1
–2
y
6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 409
(a)
y 3x x 2
1 2 3
a. ¿Cuántos pies cúbicos de gasolina podrá contener el tanque
(redondee al pie cúbico más cercano)?
b. Un pie cúbico equivale a 7.481 galones. Si el helicóptero recorre
2 millas por galón, ¿cuántas millas adicionales podrá
volar una vez que se le instale el tanque (redondee a la milla
más cercana)?
Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos
En la sección 6.1 se definió el volumen de un sólido S como la integral definida
V = Asxd dx,
La
en donde A(x) es una área de sección transversal integrable de S, que va de x = a a x = b. El
área A(x) se obtuvo partiendo el sólido con un plano perpendicular al eje x. En esta sección
utilizaremos la misma definición de integral para calcular el volumen, pero obtendremos
el área partiendo al sólido de una manera diferente: utilizando cilindros circulares rectos
de radios crecientes, como si empleáramos una cortadora de galletas. El sólido se corta de
manera perpendicular al eje x, con el eje del cilindro paralelo al eje y. El eje vertical de cada
cilindro es la misma recta, pero los radios de los cilindros son más grandes en cada parte.
Así, el sólido S se parte en delgados casquillos cilíndricos de grosor constante, cuyo radio
crece cuando se alejan del eje común, igual que los anillos circulares que conforman la
corteza de un árbol. Si un casquillo cilíndrico de estas características se extiende, es posible
ver que su volumen es aproximadamente el de una pieza rectangular con área A(x) y
grosor ∆ x. Esto nos permite aplicar la misma definición de integral que hemos venido utilizando
para calcular el volumen. Antes de describir el método en general, veamos un
ejemplo para comprenderlo mejor.
EJEMPLO 1 Determinación de un volumen por medio de casquillos
La región circundada por el eje x y la parábola y = f(x) = 3x – x 2 se hace girar alrededor
de la recta vertical x = –1 para generar la forma de un sólido (figura 6.17). Determinar el
volumen del sólido.
Solución En este caso, utilizar el método de las arandelas que se explicó en la sección
6.1 sería complicado, ya que necesitaríamos expresar los valores de x de las ramas izquier-
x
Eje de
rotación
x –1
FIGURA 6.17 (a) La gráfica de la región del ejemplo 1, antes de hacerla girar. (b) El
sólido formado cuando la región de la parte (a) se hace girar alrededor del eje de
rotación x = –1.
b
(b)
0
y
3
x