Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

BIOGRAFÍA HISTÓRICA
John Napier
(1550–1617)
7.2 Logaritmos naturales 479
Observe el interesante hallazgo que nos ofrece el ejemplo 1a. La función y = ln 2x
tiene la misma derivada que y = ln x. Esto es válido para y = ln ax, siendo a cualquier número
positivo:
d 1
ln ax = # d
(2)
dx ax dx saxd = 1 ax sad = 1 x .
Ya que tenemos la misma derivada, las funciones y = ln ax y y = ln x difieren por una
constante.
Propiedades de los logaritmos
Los logaritmos fueron inventados por John Napier y constituyeron el avance individual
más importante del cálculo aritmético hasta antes de la aparición de las modernas computadoras
electrónicas. Su utilidad radica en que, gracias a sus propiedades, es posible multiplicar
números positivos por medio de la suma de sus logaritmos, dividir números positivos
mediante la resta de sus logaritmos, y elevar un número a un exponente multiplicando su
logaritmo por el exponente. En el teorema 2 se resumen estas propiedades como una serie
de reglas. Por el momento, la única restricción se da en la regla 4, según la cual el exponente
r debe ser un número racional; cuando demostremos la regla veremos por qué.
TEOREMA 2 Propiedades de los logaritmos
Para cualquier número a 7 0 y x 7 0, el logaritmo natural satisface las reglas siguientes:
1. Regla del producto: ln ax = ln a + ln x
2. Regla del cociente:
ln a x
= ln a - ln x
3. Regla del recíproco: Regla 2 con
4. Regla de la potencia: ln x r racional
r ln a = 1
= r ln x
1 x = -ln x
A continuación se ilustra cómo se aplican estas reglas.
EJEMPLO 2 Interpretación de las propiedades de los logaritmos
(a) Producto
(b) Cociente
(c) Recíproco
= -ln 2 Potencia
3 ln
= -3 ln 2
1
ln 4 - ln 5 = ln
= -ln 8
8 4
ln 6 = ln s2 # 3d = ln 2 + ln 3
= ln 0.8
5
EJEMPLO 3 Aplicación de las propiedades a fórmulas de funciones
(a) ln 4 + ln sen x = ln s4 sen xd
Producto
(b)
x + 1
ln = ln sx + 1d - ln s2x - 3d
2x - 3
Cociente