Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

4.8 Antiderivadas 309
Las reglas de la tabla 4.2 son fáciles de verificar derivando la fórmula de la antiderivada
general para obtener la función a su izquierda. Por ejemplo, la derivada de es
para cualquier valor de la constante C, y esto establece la fórmula para la antiderivada
más general de sec2 sec
x.
2 tan x + C
x,
EJEMPLO 3 Determinación de antiderivadas usando la tabla 4.2
Encontrar las antiderivadas generales de cada una de las funciones siguientes.
(a)
(b)
(c)
(d) isxd = cos x
gsxd =
hsxd = sen 2x
2
1
ƒsxd = x
2x
5
Solución
(a)
(b) gsxd = x así -1>2 Fsxd =
,
x6
+ C
6
(c)
Hsxd =
Gsxd =
-cos 2x
+ C
2
x1>2
1>2
+ C = 22x + C
Fórmula 1
con n = 5
Fórmula 1
con n = -1>2
Fórmula 2
con k = 2
sen sx>2d
(d) Isxd = + C = 2 sen
1>2
Otras reglas de derivadas también conducen a las correspondientes reglas de antiderivadas.
Podemos sumar o restar antiderivadas, y multiplicar por constantes.
Las fórmulas de la tabla 4.3 son fáciles de probar derivando las antiderivadas y verificando
que el resultado coincide con la función original. La fórmula 2 es el caso especial
k = -1en
la fórmula 1.
x
Fórmula 3
+ C
2 con k = 1>2
TABLA 4.3 Reglas de linealidad para antiderivadas
Función Antiderivada general
1. Regla del múltiplo
constante: kƒ(x) kFsxd + C, k es constante
2. Regla negativa:
-ƒsxd -Fsxd + C,
3. Regla de la suma
o la resta: ƒsxd ; gsxd Fsxd ; Gsxd + C
EJEMPLO 4 Uso de las reglas de linealidad para antiderivadas
Encontrar la antiderivada general de
ƒsxd = 3
2x
+ sen 2x.