Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

584 Capítulo 8: Técnicas de integración
EJEMPLO 5 Evaluar
Solución
En la primera integral, hacemos
y tenemos
Las integrales restantes están en forma estándar, de manera que
EJEMPLO 6 Evaluar
Solución Integramos por partes, usando
Entonces
L tan4 x dx.
L tan4 x dx = L tan 2 x # tan 2 x dx = L tan 2 x # ssec 2 x - 1d dx
= L tan 2 x sec 2 x dx - L tan 2 x dx
= L tan 2 x sec 2 x dx - L ssec 2 x - 1d dx
= L tan 2 x sec 2 x dx - L sec 2 x dx + L dx.
u = tan x, du = sec 2 x dx
L u2 du = 1
3 u3 + C1.
L tan4 x dx = 1
3 tan3 x - tan x + x + C.
L sec3 x dx.
u = sec x, dy = sec 2 x dx, y = tan x, du = sec x tan x dx.
L sec3 x dx = sec x tan x - L stan xdssec x tan x dxd
= sec x tan x - L ssec 2 x - 1d sec x dx
= sec x tan x + L sec x dx - L sec 3 x dx.
Combinando las dos integrales de secante cúbica se obtiene
2 L sec 3 x dx = sec x tan x + L sec x dx
tan 2 x = sec 2 x - 1