Calculo Una Variable, 11vo Edición – George B.Thomas

i
I V
R I e
0
L
R
L
2
R
i (1 eRt/L V )
R
L
3
R
L
4
R
FIGURA 9.6 El crecimiento de la
corriente en el circuito RL del ejemplo 5.
I es el valor de estado estacionario de la
corriente. El número t = L>R
es
la constante de tiempo del circuito. La
corriente alcanza un nivel, dentro del 5%,
de su valor de estado estacionario en
3 constantes de tiempo (ejercicio 31).
t
9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 655
y la correspondiente solución, dado que i = 0 cuando t = 0, es
(ejercicio 32). Como R y L son positivas, es negativo y e cuando t : q.
En consecuencia,
-sR>Ldt -sR>Ld
: 0
En cualquier instante dado, la intensidad de corriente es teóricamente menor que VR, pero conforme pasa el tiempo, se aproxima al valor de estado estacionario VR. De
acuerdo con la ecuación
L di
>
>
+ Ri = V,
dt
es la corriente que fluye por el circuito, si (no hay inductancia) o
(corriente estacionaria, i = constante) (figura 9.6).
La ecuación (7) expresa la solución de la ecuación (6) como la suma de dos términos:
una solución de estado estacionario VR, y una solución transitoria , que
-sV>Rde
tiende a cero cuando t : q .
-sR>Ldt
I = V>R
L = 0
di>dt = 0
>
Problemas de mezclas
Una sustancia química en una solución líquida (o dispersa en un gas) entra a un contenedor
que tiene el líquido (o gas) con, posiblemente, una cantidad específica del químico disuelto.
La mezcla se mantiene uniforme revolviéndola y fluye del contenedor a una velocidad
conocida. En este proceso, con frecuencia es importante conocer la concentración del químico
en el contenedor en cualquier instante dado. La ecuación diferencial que describe el
proceso tiene como base la fórmula
Si y(t) es la cantidad de sustancia química que hay en el contenedor en el instante t, y V(t)
es el volumen total de líquido en el contenedor en el instante t, entonces la velocidad de
salida de la sustancia en el instante t es
Velocidad de salida = ystd
Vstd # stasa de flujo de salidad
De acuerdo con esto, la ecuación (8) se transforma en
dy
dt
lím i = lím
t: q t: q aV
R
Tasa de cambio
de la cantidad
en el contenedor
concentración en el
= acontenedor
en el instante tb # stasa de flujo de salidad.
= stasa a la que se introduce la sustanciad - ystd
Vstd # stasa de flujo de salidad.
Si, digamos, y se mide en libras, V en galones y t en minutos, las unidades de la ecuación
(10) son
libras
minutos
i = V
R
V
-
R e -sR>Ldtb = V
R
tasa a la que se tasa a la que se
= £ introduce la ≥ - £ expulsa la ≥
sustancia química sustancia química
= libras
minutos
V -sR>Ldt - e
R
libras galones
- #
galones minutos .
EJEMPLO 6 Tanque de almacenamiento en una refinería
- V
R # 0 = V
R .
En una refinería de petróleo, un tanque de almacenamiento contiene 2000 galones de
gasolina; al principio hay 100 libras de un aditivo disuelto en el fluido. Antes de la tem-
(7)
(8)
(9)
(10)