Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.7. MATLAB ERGÄNZUNGEN 77
der Ergebnisse. Da Folgen und Reihen normalerweise nicht, wie in Abb. 2.5 und 2.6 graphisch
dargestellt werden, gehen wir an dieser Stelle nicht auf diese Thematik ein, sondern
verschieben diese auf das folgende Kapitel: bei Funktionen ist die Frage der Darstellung wesentlich
wichtiger – und Sie werden nach Durcharbeiten von Abschn. 3.5 in der Lage sein,
die dort für Funktionen erworbenen Techniken auf die hier betrachteten Folgen und Reihen
zu übertragen.
Kontrollfragen
Kontrollfrage 9 Folgen und Reihen: definieren Sie beides und beschreiben Sie Gemeinsamkeiten
und Unterschiede.
Kontrollfrage 10 Erläutern Sie die Begriffe Monotonie, beschränkt, Grenzwert und Konvergenz;
geben Sie Beispiele. Lässt sich Konvergenz ohne Kenntnis des Grenzwerts feststellen?
Kontrollfrage 11 Erläutern Sie die Grundideen und Voraussetzungen für die Reihenentwicklung.
Worin bestehen die Unterschiede in der Taylor und der McLaurin Reihe? Geben
Sie den Ausdruck für die Reihenentwicklung an und führen Sie diese am Beispiel der Exponentialfunktion
oder einer Winkelfunktion aus.
Fragen
Frage 12 Geben Sie Beispiele für die explizite Definition einer Folge oder Reihe, ebenso wie
für die rekursive Definition.
Frage 13 Was versteht man unter einem Häufungspunkt einer Folge?
Frage 14 Ist die Existenz eines Häufungspunktes eine hinreichende Bedingung für Konvergenz?
Geben Sie Beispiele.
Frage 15 Beschreiben Sie die Funktionsweise des Vergleichstests und des Quotienten Kriteriums
bei der Untersuchung von Reihen auf Konvergenz.
Frage 16 Was versteht man unter dem Konvergenzradius?
Frage 17 ¬S Beweisen Sie die Behauptung: ‘Für alle n ∈ N mit n > 4 gilt: 2 n > n 2 ’.
Begründen Sie die Wahl Ihres Beweisverfahrens.
Frage 18 ¬S Beweisen Sie die Behauptung: ‘Die Menge {1, 2, 3, . . . , n} hat genau 2 n Teilmengen’.
Begründen Sie die Wahl Ihres Beweisverfahrens.
Frage 19 ¬S Beweisen Sie die Behauptung: ‘Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl
lässt bei Division durch 8 den Rest 1.’. Begründen Sie die Wahl Ihres Beweisverfahrens.
Frage 20 ¬S Beweisen Sie die Behauptung: ‘Es gibt keine natürliche Zahl, deren Quadrat
8 ist.’. Begründen Sie die Wahl Ihres Beweisverfahrens.
Aufgaben
Aufgabe 28 Zeigen Sie, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen n 2 ergibt.
Aufgabe 29 Zeigen Sie, dass die Folge n/(n + 1) nach oben und unten beschränkt ist.
Aufgabe 30 Untersuchen Sie folgende Folgen auf Konvergenz für n → ∞:
a n = 3n2 − 6n + 2
n 2 + 1
= 3 , b n =
√ n
n + 1 , c n = e 1/n , d n = cos n
n , e n = n√ a a > 0 ,
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007