Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

142 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Abbildung 4.10: Feld A = x 2 +y
zusammen mit dem Gradienten
(links) und Gradient des Feldes
zusammen mit Isolinien (rechts)
eine Richtungsableitung ist, wird manchmal die Schreibweise ∂A/∂⃗r verwendet – Sie sollten
in dieser Schreibweise zwar erkennen, dass es sich um einen Gradienten handelt, sollten diesen
mathematisch nicht sauberen Ausdruck aber nicht verwenden.
§ 564 Der Gradient steht senkrecht auf den den Niveau- bzw. Äquipotentialflächen A =
const. Betrachten wir dazu eine Feldänderung ∆A beim Fortschreiten um ∆⃗r (vgl. (4.6)):
∆A = gradA · ∆⃗r. Liegt ∆⃗r in Richtung einer Isolinie, so ist gradA · ∆⃗r = 0, da sich entlang
der Isolinie A nicht verändert und damit gradA = 0. Umgekehrt wird dieses Skalarprodukt
maximal, wenn gradA senkrecht auf A = const steht. Der Betrag des Gradienten gibt die
Stärke der Änderung von A senkrecht zu den Flächen A = const, d.h. die Dichte der Isolinien.
§ 565 Gehen wir noch einmal zu § 448 zurück. Dort war ein Skalarfeld der Form A = x 2 + y
gegeben. In diesem Feld ist der Gradient
( )
( )
∂/∂x
gradA = (x 2 2x
+ y) = .
∂/∂y
1
Eine anschauliche Darstellung dieses Gradientenfeldes findet sich in Abb. 4.10.
§ 566 Das totale Differential (vgl. Abschn. 4.4.4) lässt sich mit Hilfe des Gradienten schreiben
als
dA = ∂A
∂x
dx +
∂A
∂y
∂A
dy + dz = ∇A · d⃗r = gradA · d⃗r . (4.6)
∂z
Dadurch ist die Änderung von A bei Änderung des Ortes ⃗r gegeben und der Gradient kann
zur Beschreibung der Änderung des Feldes von ⃗r 1 zu ⃗r 2 mit Hilfe eines Linienintegrals (vgl.
Abschn. 10.3.2) verwendet werden:
A(⃗r 2 ) − A(⃗r 1 ) =
∫ ⃗r 2
⃗r 1
∇A d⃗r .
Rechenregeln für den Gradienten
§ 567 Die Rechenregeln für den Gradienten ergeben sich aus den Rechenregeln für die (partielle)
Differentiation, vgl. Abschn. 4.3.2 und 4.4.1.
• Für ein konstantes Feld A(⃗r) = c gilt ∇c = 0:
A(⃗r) = const ⇒ ∇A = ∇c = 0 .
• Die Summenregel
∇(A + B) = ∇A + ∇B
gilt, da der Nabla-Operator linear ist. Ist eines der Felder konstant, so gilt
∇(A + c) = ∇A + ∇c = ∇A .
Das bedeutet, dass bei der Bestimmung eines Feldes aus seinem Gradienten dieses nur bis
auf ein konstantes Feld genau bestimmt werden kann – ein Problem, das uns bei der Integration
von Funktionen die Integrationskonstante beschert und das uns bei der Integration
von Feldern in Kap. 10 wiederholt begegnen wird.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode