Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

336 KAPITEL 8. MATRIZEN
Abbildung 8.4: Drehung im 3D und Euler Winkel
§ 1264 Die Transformation einer Matrix A ist nicht ganz so einfach: der Ausdruck TA liefert
nicht die transformierte Matrix. Dabei muss ein zusätzlicher Index berücksichtigt werden, da
ein Vektor als eindimensionale Matrix nur einen Index hat:
A ′ = TAT T und a ′ il = t ij t lk a jk (8.24)
unter Verwendung der Summenkonvention: über doppelt auftretende Indizes auf einer Seite
einer Gleichung wird summiert, d.h. anstelle von ∑ i a ib i schreibt man a i b i . Gleichung (8.24)
besagt, dass die a jk sich bezüglich beider Indizes zugleich wie ein Vektor transformieren.
§ 1265 Nehmen wir die Drehmatrix aus § 1263 und transformieren damit die Matrix
⎛
A = ⎝ 2 4 8
⎞
8 2 4 ⎠ ,
16 8 2
so erhalten wir
⎛ √ √
2 2
⎞ ⎛
A ′ = RAR T 2 2
0
= ⎝
− √ √
2 2
2 2
0
⎠ ⎝ 2 4 8
⎞ ⎛ √
2
2
− √ ⎞
2
2
0
√ √
8 2 4 ⎠ ⎝ 2 2
2 2
0
⎠
0 0 1 16 8 2 0 0 1
⎛ √ √
2 2
⎞⎛
√
6
⎞ ⎛
√
2 2
0 2 2 8
10
⎞
9 −1 √
2
= ⎝
− √ √
2 2
2 2
0
⎠⎜
12
⎝
√
2
− √ 4
2
2
⎟ ⎜
⎠= ⎝ 3 −3 − √ 6 ⎟
2 ⎠ .
24
0 0 1 √
2
− √ 8
24
2
2 √
2
− √ 8
2
2
Verständnisfrage 24 Müssen die Matrizen, wie in diesem Beispiel geschehen, von rechts
nach links multipliziert werden oder geht es auch umgekehrt?
Euler Winkel
§ 1266 Jede allgemeine Drehung im dreidimensionalen Raum lässt sich durch die Angabe
der drei Euler Winkel ϑ, ϕ und ψ charakterisieren:
1. eine Drehung um die z-Achse um den Drehwinkel ϕ,
2. eine Drehung um die Knotenlinie um ϑ und
3. eine Drehung um die z ′ -Achse um ψ.
Diese Sequenz von Drehungen ist in Abb. 8.4 veranschaulicht. Die zur Drehung K → K ′
gehörende Drehmatrix D ergibt sich als Produkt der Drehmatrizen der einzelnen Drehungen.
§ 1267 Die Matrix D 1 der Drehung um den Winkel ϕ um die z-Achse ist die bereits bekannte
Drehmatrix
⎛
⎞
cos ϕ sin ϕ 0
D 1 = ⎝ − sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ . (8.25)
0 0 1
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode