Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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so dass das Gesamtergebnis ebenfalls unendlich wird.
Aufgabe 34: Lösung wie in Aufgabe 33 durch Reihenentwicklung des Sinus:
I =
=
∫ 1
0
∫ 1
0
∫1
sin x
x Dx =
∫ 1
dx −
0
0
x 2 ∫1
3! dx +
)
1
(x − x3
x 3! + x5
5! − x7
7! + x9
9! + . . . dx
0
x 4 ∫1
5! dx −
0
x 6 ∫1
7! , dx +
= 1 − 1
3 · 3! + 1
5 · 5! − 1
7 · 7! + 1
9 · 9! + . . . .
0
x 8
9! dx + . . .
Abbruch nach dem dritten Term der Reihe führt auf eine Genauigkeit von 1/(7·7!) = 3·10 −5 ,
d.h. ein Abbruch nach drei Termen liefert die geforderte Genauigkeit; wir erhalten 0.94611
an Stelle des exakten Wertes 0.94608.
Kapitel 3
Frage 43: da sich der Körper mit konstanter Geschwindigkeit v entlang des Strahls bewegt,
ist sein Abstand vom Ursprung des Strahl r(t) = vt. Gleichzeitig ändert sich der Winkel φ(t)
zur Ausgangslage des Strahls gemäß ϕ(t) = ωt. Damit haben wir für die Parameterdarstellung
der Bewegung in Polarkoordinaten:
r = vt und ϕ = ωt .
Eliminieren von t gibt als explizite Funktionsgleichung (immer noch in Polarkoordinaten)
r = vϕ ω .
Eine konventionelle Darstellung y(x) erhalten wir durch Umwandlung in kartesische Koordinaten:
x(t) = r cos ϕ = vt cos(ωt) und y(t) = r sin ϕ = vt sin(ωt) .
Daraus lässt sich keine explizite Form bestimmen, da wir nicht in der Lage sind, eine der
beiden Gleichungen nach t aufzulösen. Betrachtet man die graphische Darstellung der Archimedischen
Spirale, so ist verständlich, dass die explizite Form nicht möglich ist: zu jedem x
gibt es unendlich viele y(x).
Anmerkung: ein Kreis lässt sich durch Anlehnung an die Kreisbewegung ebenfalls einfach
in Parameterform darstellen: r(t) = r = const und ϕ(t) = ωt. Auch dort hätten wir das
Problem, dass die Gleichung des Kreises nicht in expliziter Form gegeben werden kann. Insofern
sind Parameterdarstellungen keine Schikane sondern erweitern unsere Möglichkeiten
zur Darstellung von Funktionen – insbesondere auch von Kurven, die sich aus Bewegungen
ergeben wie in diesem Beispiel und in der folgenden Aufgabe.
Frage 44: Die Funktion
f(x) = 4 + x
x + 1
ist an der Stelle x = −1 nicht definiert. Bilden wir den linksseitigen Grenzwert, so erhalten
wir
x + 4
lim
x→−1 − x + 1 = lim −1 − ε + 4
ε→0 −1 − ε + 1 = lim 3 − ε
ε→0 −ε = −∞ .
Für den rechtsseitigen Grenzwert dagegen ergibt sich
x + 4
lim
x→−1 + x + 1 = lim −1 + ε + 4
ε→0 −1 + ε + 1 = lim 3 + ε
= +∞ .
ε→0 ε
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007